Номер 34.42, страница 203, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

34.42. а) Изобразите на комплексной плоскости множество чисел z, удовлетворяющих условию $|zi - 3i + 4| \le \left|\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\right|$.

Чему равно наибольшее значение $|z|$?

б) Изобразите на комплексной плоскости множество чисел z, удовлетворяющих условию $|zi - 3 - 4i| \le \left|\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right|$.

Чему равно наименьшее значение $|z|$?

а)

Рассмотрим неравенство $|zi - 3i + 4| \le |\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i|$.

Сначала вычислим модуль комплексного числа в правой части неравенства:

$|\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1$.

Теперь преобразуем выражение в левой части. Вынесем $i$ за скобки внутри модуля:

$|zi - 3i + 4| = |i(z - 3 + \frac{4}{i})|$.

Так как $\frac{1}{i} = -i$, то $\frac{4}{i} = -4i$. Получаем:

$|i(z - 3 - 4i)| = |i(z - (3+4i))|$.

Используя свойство модуля $|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$ и то, что $|i|=1$, имеем:

$|i| \cdot |z - (3+4i)| = 1 \cdot |z - (3+4i)| = |z - (3+4i)|$.

Таким образом, исходное неравенство принимает вид:

$|z - (3+4i)| \le 1$.

Геометрически, выражение $|z - z_0|$ представляет собой расстояние между точками $z$ и $z_0$ на комплексной плоскости. В нашем случае $z_0 = 3+4i$. Следовательно, данное неравенство описывает множество всех точек $z$, расстояние от которых до точки $z_0=3+4i$ не превышает 1. Это замкнутый круг с центром в точке $C(3, 4)$ и радиусом $R=1$. На комплексной плоскости это круг, включая его границу, с центром в точке, соответствующей комплексному числу $3+4i$.

Теперь найдем наибольшее значение $|z|$. Величина $|z|$ — это расстояние от точки $z$ до начала координат $(0,0)$. Наибольшее значение $|z|$ для точек круга будет достигаться в точке, которая лежит на окружности и является наиболее удаленной от начала координат. Эта точка находится на прямой, проходящей через начало координат и центр круга $C(3,4)$.

Расстояние от начала координат до центра круга равно $|z_0| = |3+4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.

Наибольшее расстояние от начала координат до точки на окружности равно сумме расстояния от начала координат до центра и радиуса круга:

$|z|_{max} = |z_0| + R = 5 + 1 = 6$.

Ответ: Множество чисел $z$ представляет собой замкнутый круг с центром в точке $(3, 4)$ и радиусом $1$. Наибольшее значение $|z|$ равно $6$.

б)

Рассмотрим неравенство $|zi - 3 - 4i| \le |\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i|$.

Вычислим модуль комплексного числа в правой части:

$|\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1$.

Преобразуем выражение в левой части. Вынесем $i$ за скобки:

$|zi - 3 - 4i| = |i(z - \frac{3}{i} - 4)|$.

Так как $\frac{1}{i} = -i$, то $\frac{3}{i} = -3i$. Получаем:

$|i(z - (-3i) - 4)| = |i(z - (4-3i))|$.

Используя свойство модуля $|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$ и то, что $|i|=1$, имеем:

$|i| \cdot |z - (4-3i)| = 1 \cdot |z - (4-3i)| = |z - (4-3i)|$.

Таким образом, исходное неравенство принимает вид:

$|z - (4-3i)| \le 1$.

Это неравенство описывает множество всех точек $z$ на комплексной плоскости, расстояние от которых до точки $z_0=4-3i$ не превышает 1. Геометрически это замкнутый круг с центром в точке $C(4, -3)$ и радиусом $R=1$.

Теперь найдем наименьшее значение $|z|$. Наименьшее значение $|z|$ для точек круга будет достигаться в точке, которая лежит на окружности и является наименее удаленной от начала координат. Эта точка находится на прямой, проходящей через начало координат и центр круга $C(4, -3)$.

Расстояние от начала координат до центра круга равно $|z_0| = |4-3i| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$.

Так как расстояние до центра ($5$) больше радиуса ($1$), начало координат находится вне круга. Наименьшее расстояние от начала координат до точки на окружности равно разности расстояния от начала координат до центра и радиуса круга:

$|z|_{min} = |z_0| - R = 5 - 1 = 4$.

Ответ: Множество чисел $z$ представляет собой замкнутый круг с центром в точке $(4, -3)$ и радиусом $1$. Наименьшее значение $|z|$ равно $4$.