Номер 35.6, страница 204, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

35.6. a) $2i$ и $\frac{2}{i}$;

б) $1 + 3i$ и $\frac{10}{1 + 3i}$;

В) $-2^{-3i}$ и $\frac{i}{8}$;

Г) $(2^9 + 2^7 + 2^3)i$ и $(3^4 - 3^6)i$.

а)

Рассмотрим пару комплексных чисел $2i$ и $\frac{2}{i}$. Для того чтобы сравнить эти числа, необходимо привести второе число к стандартному алгебраическому виду $a+bi$.

Упростим выражение $\frac{2}{i}$, умножив числитель и знаменатель на мнимую единицу $i$:

$\frac{2}{i} = \frac{2 \cdot i}{i \cdot i} = \frac{2i}{i^2}$

Так как по определению $i^2 = -1$, то:

$\frac{2i}{-1} = -2i$

Теперь сравним первое число $2i$ со вторым, которое равно $-2i$. Очевидно, что $2i \neq -2i$. Эти числа являются противоположными, так как их сумма равна нулю ($2i + (-2i) = 0$).

Ответ: Числа не равны. Число $\frac{2}{i}$ является противоположным числу $2i$.

б)

Рассмотрим пару чисел $1 + 3i$ и $\frac{10}{1 + 3i}$. Упростим второе число.

Для того чтобы избавиться от мнимой единицы в знаменателе дроби $\frac{10}{1 + 3i}$, умножим числитель и знаменатель на число, комплексно-сопряженное знаменателю, то есть на $1 - 3i$:

$\frac{10}{1 + 3i} = \frac{10(1 - 3i)}{(1 + 3i)(1 - 3i)}$

В знаменателе воспользуемся формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(1 + 3i)(1 - 3i) = 1^2 - (3i)^2 = 1 - 9i^2 = 1 - 9(-1) = 1 + 9 = 10$

Подставим результат в исходное выражение:

$\frac{10(1 - 3i)}{10} = 1 - 3i$

Теперь сравним первое число $1 + 3i$ со вторым $1 - 3i$. Эти числа не равны. У них одинаковые действительные части (1) и противоположные по знаку мнимые части (3 и -3). Такие числа называются комплексно-сопряженными.

Ответ: Числа не равны. Число $\frac{10}{1 + 3i}$ является комплексно-сопряженным числу $1 + 3i$.

в)

Рассмотрим пару чисел $z_1 = -2^{-3i}$ и $z_2 = \frac{i}{8}$.

Для анализа первого числа $z_1$ воспользуемся определением комплексной степени $a^z = e^{z \ln a}$.

$z_1 = -2^{-3i} = -e^{-3i \ln 2}$

Самый простой способ сравнить два комплексных числа — это сравнить их модули. Модуль комплексного числа $z = x+iy$ вычисляется как $|z| = \sqrt{x^2+y^2}$.

Найдем модуль первого числа:

$|z_1| = |-e^{-3i \ln 2}| = |-1| \cdot |e^{-i(3 \ln 2)}| = 1 \cdot 1 = 1$, так как модуль числа вида $e^{i\theta}$ для действительного $\theta$ всегда равен 1.

Найдем модуль второго числа:

$|z_2| = |\frac{i}{8}| = |0 + \frac{1}{8}i| = \sqrt{0^2 + (\frac{1}{8})^2} = \sqrt{\frac{1}{64}} = \frac{1}{8}$

Поскольку $|z_1| = 1$, а $|z_2| = \frac{1}{8}$, их модули не равны. Следовательно, сами комплексные числа также не равны.

Ответ: Числа не равны.

г)

Рассмотрим пару чисел $(2^9 + 2^7 + 2^3)i$ и $(3^4 - 3^6)i$. Вычислим коэффициенты при мнимой единице $i$ для каждого числа.

Для первого числа:

$2^9 + 2^7 + 2^3 = 512 + 128 + 8 = 648$

Таким образом, первое число равно $648i$.

Для второго числа:

$3^4 - 3^6 = 81 - 729 = -648$

Таким образом, второе число равно $-648i$.

Сравним числа $648i$ и $-648i$. Очевидно, что они не равны. Как и в пункте а), эти числа являются чисто мнимыми и противоположными друг другу, так как их сумма равна нулю.

Ответ: Числа не равны. Число $(3^4 - 3^6)i$ является противоположным числу $(2^9 + 2^7 + 2^3)i$.