Номер 35.13, страница 205, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

35.13. Вычислите:

а) $\sqrt{15 + 8i};$

б) $\sqrt{15 - 8i};$

в) $\sqrt{24 - 7i};$

г) $\sqrt{40 + 9i}.$

а)

Для вычисления квадратного корня из комплексного числа $15 + 8i$ будем искать его в виде $x + yi$, где $x$ и $y$ — действительные числа.

Пусть $\sqrt{15 + 8i} = x + yi$. Возведем обе части в квадрат:
$(x + yi)^2 = 15 + 8i$
$x^2 + 2xyi + (yi)^2 = 15 + 8i$
$x^2 - y^2 + 2xyi = 15 + 8i$

Приравнивая действительные и мнимые части, получаем систему уравнений:
$\begin{cases} x^2 - y^2 = 15 \\ 2xy = 8 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$: $y = \frac{8}{2x} = \frac{4}{x}$. Подставим это выражение в первое уравнение:
$x^2 - (\frac{4}{x})^2 = 15$
$x^2 - \frac{16}{x^2} = 15$

Умножим обе части на $x^2$ (при условии, что $x \neq 0$, что следует из $2xy=8$):
$x^4 - 16 = 15x^2$
$x^4 - 15x^2 - 16 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$:
$t^2 - 15t - 16 = 0$
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-15)^2 - 4(1)(-16) = 225 + 64 = 289 = 17^2$
$t_{1,2} = \frac{-(-15) \pm \sqrt{289}}{2} = \frac{15 \pm 17}{2}$
$t_1 = \frac{15 + 17}{2} = 16$
$t_2 = \frac{15 - 17}{2} = -1$

Поскольку $t = x^2 \ge 0$, корень $t_2 = -1$ не подходит.
Итак, $x^2 = 16$, откуда $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.

Найдем соответствующие значения $y$:
Если $x_1 = 4$, то $y_1 = \frac{4}{x_1} = \frac{4}{4} = 1$.
Если $x_2 = -4$, то $y_2 = \frac{4}{x_2} = \frac{4}{-4} = -1$.

Таким образом, мы получили два значения для квадратного корня: $4 + i$ и $-4 - i$. Их можно записать как $\pm(4 + i)$.

Проверка: $(4+i)^2 = 16 + 8i + i^2 = 16 + 8i - 1 = 15 + 8i$.

Ответ: $\pm(4 + i)$.

б)

Для вычисления $\sqrt{15 - 8i}$ поступим аналогично. Пусть $\sqrt{15 - 8i} = x + yi$.

Тогда $(x + yi)^2 = 15 - 8i$, что приводит к системе уравнений:
$\begin{cases} x^2 - y^2 = 15 \\ 2xy = -8 \end{cases}$

Из второго уравнения $y = -\frac{4}{x}$. Подставляя в первое, получим:
$x^2 - (-\frac{4}{x})^2 = 15$
$x^2 - \frac{16}{x^2} = 15$
$x^4 - 15x^2 - 16 = 0$

Это то же биквадратное уравнение, что и в пункте а). Его действительные решения для $x$: $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.

Найдем соответствующие значения $y$, используя $y = -4/x$. Из $2xy=-8$ следует, что $x$ и $y$ имеют разные знаки.
Если $x_1 = 4$, то $y_1 = -\frac{4}{4} = -1$.
Если $x_2 = -4$, то $y_2 = -\frac{4}{-4} = 1$.

Получаем два значения корня: $4 - i$ и $-4 + i$. Это можно записать как $\pm(4 - i)$.

Отметим, что число $15 - 8i$ является комплексно-сопряженным к $15 + 8i$. Поэтому его корни являются комплексно-сопряженными к корням из $15 + 8i$. Корни из $15+8i$ это $\pm(4+i)$, сопряженные к ним это $\pm\overline{(4+i)} = \pm(4-i)$, что совпадает с нашим результатом.

Ответ: $\pm(4 - i)$.

в)

Вычислим $\sqrt{24 - 7i}$. Пусть $\sqrt{24 - 7i} = x + yi$.

Тогда $(x + yi)^2 = 24 - 7i$, и мы получаем систему:
$\begin{cases} x^2 - y^2 = 24 \\ 2xy = -7 \end{cases}$

Из второго уравнения $y = -\frac{7}{2x}$. Подставляем в первое:
$x^2 - (-\frac{7}{2x})^2 = 24$
$x^2 - \frac{49}{4x^2} = 24$

Умножаем на $4x^2$:
$4x^4 - 49 = 96x^2$
$4x^4 - 96x^2 - 49 = 0$

Решаем как квадратное уравнение относительно $t = x^2$:
$4t^2 - 96t - 49 = 0$
$D = (-96)^2 - 4(4)(-49) = 9216 + 784 = 10000 = 100^2$
$t_{1,2} = \frac{96 \pm 100}{8}$
$t_1 = \frac{196}{8} = \frac{49}{2}$
$t_2 = \frac{-4}{8} = -0.5$ (не подходит, так как $t=x^2 \ge 0$)

Итак, $x^2 = \frac{49}{2}$, откуда $x = \pm \sqrt{\frac{49}{2}} = \pm \frac{7}{\sqrt{2}} = \pm \frac{7\sqrt{2}}{2}$.

Находим $y = -\frac{7}{2x}$. Из $2xy=-7$ следует, что $x$ и $y$ имеют разные знаки.
Если $x_1 = \frac{7\sqrt{2}}{2}$, то $y_1 = -\frac{7}{2(\frac{7\sqrt{2}}{2})} = -\frac{7}{7\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Если $x_2 = -\frac{7\sqrt{2}}{2}$, то $y_2 = -\frac{7}{2(-\frac{7\sqrt{2}}{2})} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Корни: $\frac{7\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $-\frac{7\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это можно записать как $\pm(\frac{7\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2})$ или, вынеся общий множитель, $\pm\frac{\sqrt{2}}{2}(7 - i)$.

Ответ: $\pm\frac{\sqrt{2}}{2}(7 - i)$.

г)

Вычислим $\sqrt{40 + 9i}$. Пусть $\sqrt{40 + 9i} = x + yi$.

Тогда $(x + yi)^2 = 40 + 9i$, и мы получаем систему:
$\begin{cases} x^2 - y^2 = 40 \\ 2xy = 9 \end{cases}$

Из второго уравнения $y = \frac{9}{2x}$. Подставляем в первое:
$x^2 - (\frac{9}{2x})^2 = 40$
$x^2 - \frac{81}{4x^2} = 40$

Умножаем на $4x^2$:
$4x^4 - 81 = 160x^2$
$4x^4 - 160x^2 - 81 = 0$

Решаем как квадратное уравнение относительно $t = x^2$:
$4t^2 - 160t - 81 = 0$
$D = (-160)^2 - 4(4)(-81) = 25600 + 1296 = 26896 = 164^2$
$t_{1,2} = \frac{160 \pm 164}{8}$
$t_1 = \frac{324}{8} = \frac{81}{2}$
$t_2 = \frac{-4}{8} = -0.5$ (не подходит)

Итак, $x^2 = \frac{81}{2}$, откуда $x = \pm \sqrt{\frac{81}{2}} = \pm \frac{9}{\sqrt{2}} = \pm \frac{9\sqrt{2}}{2}$.

Находим $y = \frac{9}{2x}$. Так как $2xy=9>0$, знаки $x$ и $y$ совпадают.
Если $x_1 = \frac{9\sqrt{2}}{2}$, то $y_1 = \frac{9}{2(\frac{9\sqrt{2}}{2})} = \frac{9}{9\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Если $x_2 = -\frac{9\sqrt{2}}{2}$, то $y_2 = \frac{9}{2(-\frac{9\sqrt{2}}{2})} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Корни: $\frac{9\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $-\frac{9\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это можно записать как $\pm(\frac{9\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2})$ или, вынеся общий множитель, $\pm\frac{\sqrt{2}}{2}(9 + i)$.

Ответ: $\pm\frac{\sqrt{2}}{2}(9 + i)$.