Номер 35.17, страница 205, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

35.17. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа:

a) $1 + i$ и $2 - i$;

б) $2 + i$ и $3 - 2i$;

в) $1 + 2i$ и $7 - 2i$;

г) $5 + 4i$ и $4 - 5i$.

Чтобы составить квадратное уравнение, корнями которого являются числа $z_1$ и $z_2$, используется формула, основанная на теореме Виета для приведенного квадратного уравнения (когда коэффициент при $z^2$ равен 1): $z^2 - (z_1 + z_2)z + z_1 z_2 = 0$.

Для каждого случая необходимо найти сумму и произведение заданных корней и подставить их в эту формулу.

а)

Даны корни $z_1 = 1 + i$ и $z_2 = 2 - i$.

Найдем сумму корней:

$z_1 + z_2 = (1 + i) + (2 - i) = 1 + 2 + i - i = 3$.

Найдем произведение корней (учитывая, что $i^2 = -1$):

$z_1 \cdot z_2 = (1 + i)(2 - i) = 1 \cdot 2 - 1 \cdot i + i \cdot 2 - i^2 = 2 - i + 2i - (-1) = 3 + i$.

Подставляем найденные значения в формулу квадратного уравнения:

$z^2 - (3)z + (3 + i) = 0$.

Ответ: $z^2 - 3z + 3 + i = 0$.

б)

Даны корни $z_1 = 2 + i$ и $z_2 = 3 - 2i$.

Найдем сумму корней:

$z_1 + z_2 = (2 + i) + (3 - 2i) = 2 + 3 + i - 2i = 5 - i$.

Найдем произведение корней:

$z_1 \cdot z_2 = (2 + i)(3 - 2i) = 2 \cdot 3 - 2 \cdot 2i + i \cdot 3 - 2i^2 = 6 - 4i + 3i - 2(-1) = 6 - i + 2 = 8 - i$.

Подставляем найденные значения в формулу квадратного уравнения:

$z^2 - (5 - i)z + (8 - i) = 0$.

Ответ: $z^2 - (5 - i)z + 8 - i = 0$.

в)

Даны корни $z_1 = 1 + 2i$ и $z_2 = 7 - 2i$.

Найдем сумму корней:

$z_1 + z_2 = (1 + 2i) + (7 - 2i) = 1 + 7 + 2i - 2i = 8$.

Найдем произведение корней:

$z_1 \cdot z_2 = (1 + 2i)(7 - 2i) = 1 \cdot 7 - 1 \cdot 2i + 2i \cdot 7 - 4i^2 = 7 - 2i + 14i - 4(-1) = 7 + 12i + 4 = 11 + 12i$.

Подставляем найденные значения в формулу квадратного уравнения:

$z^2 - (8)z + (11 + 12i) = 0$.

Ответ: $z^2 - 8z + 11 + 12i = 0$.

г)

Даны корни $z_1 = 5 + 4i$ и $z_2 = 4 - 5i$.

Найдем сумму корней:

$z_1 + z_2 = (5 + 4i) + (4 - 5i) = 5 + 4 + 4i - 5i = 9 - i$.

Найдем произведение корней:

$z_1 \cdot z_2 = (5 + 4i)(4 - 5i) = 5 \cdot 4 - 5 \cdot 5i + 4i \cdot 4 - 4i \cdot 5i = 20 - 25i + 16i - 20i^2 = 20 - 9i - 20(-1) = 20 - 9i + 20 = 40 - 9i$.

Подставляем найденные значения в формулу квадратного уравнения:

$z^2 - (9 - i)z + (40 - 9i) = 0$.

Ответ: $z^2 - (9 - i)z + 40 - 9i = 0$.