Номер 35.15, страница 205, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

35.15. Изобразите на комплексной плоскости число z и множество $\sqrt{z}$, если:

а) $|z|=1, \arg(z)=\frac{\pi}{4};$

б) $|z|=4, \arg(z)=-\frac{\pi}{4};$

в) $|z|=9, \arg(z)=-\frac{3\pi}{4};$

г) $|z|=0,25, \arg(z)=-\frac{9\pi}{10}.$

Для решения задачи воспользуемся формулой для извлечения корня $n$-ой степени из комплексного числа (в данном случае $n=2$). Если комплексное число $z$ представлено в тригонометрической форме $z = r(\cos\phi + i\sin\phi)$, где $r = |z|$ — модуль, а $\phi = \arg(z)$ — аргумент, то его квадратные корни (множество $\sqrt{z}$) находятся по формуле:

$w_k = \sqrt{r} \left( \cos\frac{\phi + 2\pi k}{2} + i\sin\frac{\phi + 2\pi k}{2} \right)$, где $k=0, 1$.

Это дает два корня, $w_0$ и $w_1$:

• Корень $w_0$ (при $k=0$): $|w_0| = \sqrt{|z|}$, $\arg(w_0) = \frac{\arg(z)}{2}$.
• Корень $w_1$ (при $k=1$): $|w_1| = \sqrt{|z|}$, $\arg(w_1) = \frac{\arg(z) + 2\pi}{2} = \frac{\arg(z)}{2} + \pi$.

Таким образом, оба корня лежат на одной окружности с радиусом $\sqrt{|z|}$, проведенной из начала координат, и являются диаметрально противоположными точками на этой окружности.

а) Дано комплексное число $z$ с модулем $|z| = 1$ и аргументом $\arg(z) = \frac{\pi}{4}$.

Изображение числа $z$: на комплексной плоскости это точка, лежащая на окружности единичного радиуса (с центром в начале координат) под углом $\frac{\pi}{4}$ (45°) к положительному направлению действительной оси.

Для нахождения множества $\sqrt{z}$ определим модуль и аргументы корней:

Модуль корней: $|\sqrt{z}| = \sqrt{|z|} = \sqrt{1} = 1$.

Аргументы корней:

$\arg(w_0) = \frac{\arg(z)}{2} = \frac{\pi/4}{2} = \frac{\pi}{8}$ (22.5°).

$\arg(w_1) = \frac{\pi}{8} + \pi = \frac{9\pi}{8}$ (202.5°).

Изображение множества $\sqrt{z}$: это две точки, $w_0$ и $w_1$, которые лежат на той же единичной окружности, что и $z$. Точка $w_0$ находится под углом $\frac{\pi}{8}$, а точка $w_1$ — диаметрально противоположна ей, под углом $\frac{9\pi}{8}$.

Ответ: Число $z$ изображается точкой на единичной окружности под углом $\frac{\pi}{4}$. Множество $\sqrt{z}$ изображается двумя диаметрально противоположными точками на той же единичной окружности, расположенными под углами $\frac{\pi}{8}$ и $\frac{9\pi}{8}$ к положительному направлению действительной оси.

б) Дано комплексное число $z$ с модулем $|z| = 4$ и аргументом $\arg(z) = -\frac{\pi}{4}$.

Изображение числа $z$: на комплексной плоскости это точка, лежащая на окружности радиуса 4 (с центром в начале координат) под углом $-\frac{\pi}{4}$ (-45°) к положительному направлению действительной оси.

Для нахождения множества $\sqrt{z}$ определим модуль и аргументы корней:

Модуль корней: $|\sqrt{z}| = \sqrt{|z|} = \sqrt{4} = 2$.

Аргументы корней:

$\arg(w_0) = \frac{\arg(z)}{2} = \frac{-\pi/4}{2} = -\frac{\pi}{8}$ (-22.5°).

$\arg(w_1) = -\frac{\pi}{8} + \pi = \frac{7\pi}{8}$ (157.5°).

Изображение множества $\sqrt{z}$: это две точки, $w_0$ и $w_1$, которые лежат на окружности радиуса 2. Точка $w_0$ находится под углом $-\frac{\pi}{8}$, а точка $w_1$ — диаметрально противоположна ей, под углом $\frac{7\pi}{8}$.

Ответ: Число $z$ изображается точкой на окружности радиуса 4 под углом $-\frac{\pi}{4}$. Множество $\sqrt{z}$ изображается двумя диаметрально противоположными точками на окружности радиуса 2, расположенными под углами $-\frac{\pi}{8}$ и $\frac{7\pi}{8}$ к положительному направлению действительной оси.

в) Дано комплексное число $z$ с модулем $|z| = 9$ и аргументом $\arg(z) = -\frac{3\pi}{4}$.

Изображение числа $z$: на комплексной плоскости это точка, лежащая на окружности радиуса 9 под углом $-\frac{3\pi}{4}$ (-135°) к положительному направлению действительной оси.

Для нахождения множества $\sqrt{z}$ определим модуль и аргументы корней:

Модуль корней: $|\sqrt{z}| = \sqrt{|z|} = \sqrt{9} = 3$.

Аргументы корней:

$\arg(w_0) = \frac{\arg(z)}{2} = \frac{-3\pi/4}{2} = -\frac{3\pi}{8}$ (-67.5°).

$\arg(w_1) = -\frac{3\pi}{8} + \pi = \frac{5\pi}{8}$ (112.5°).

Изображение множества $\sqrt{z}$: это две точки, $w_0$ и $w_1$, которые лежат на окружности радиуса 3. Точка $w_0$ находится под углом $-\frac{3\pi}{8}$, а точка $w_1$ — диаметрально противоположна ей, под углом $\frac{5\pi}{8}$.

Ответ: Число $z$ изображается точкой на окружности радиуса 9 под углом $-\frac{3\pi}{4}$. Множество $\sqrt{z}$ изображается двумя диаметрально противоположными точками на окружности радиуса 3, расположенными под углами $-\frac{3\pi}{8}$ и $\frac{5\pi}{8}$ к положительному направлению действительной оси.

г) Дано комплексное число $z$ с модулем $|z| = 0,25$ и аргументом $\arg(z) = -\frac{9\pi}{10}$.

Изображение числа $z$: на комплексной плоскости это точка, лежащая на окружности радиуса 0,25 под углом $-\frac{9\pi}{10}$ (-162°) к положительному направлению действительной оси.

Для нахождения множества $\sqrt{z}$ определим модуль и аргументы корней:

Модуль корней: $|\sqrt{z}| = \sqrt{|z|} = \sqrt{0,25} = 0,5$.

Аргументы корней:

$\arg(w_0) = \frac{\arg(z)}{2} = \frac{-9\pi/10}{2} = -\frac{9\pi}{20}$ (-81°).

$\arg(w_1) = -\frac{9\pi}{20} + \pi = \frac{11\pi}{20}$ (99°).

Изображение множества $\sqrt{z}$: это две точки, $w_0$ и $w_1$, которые лежат на окружности радиуса 0,5. Точка $w_0$ находится под углом $-\frac{9\pi}{20}$, а точка $w_1$ — диаметрально противоположна ей, под углом $\frac{11\pi}{20}$.

Ответ: Число $z$ изображается точкой на окружности радиуса 0,25 под углом $-\frac{9\pi}{10}$. Множество $\sqrt{z}$ изображается двумя диаметрально противоположными точками на окружности радиуса 0,5, расположенными под углами $-\frac{9\pi}{20}$ и $\frac{11\pi}{20}$ к положительному направлению действительной оси.