Номер 35.9, страница 204, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

35.9. При каких значениях параметра a:

а) уравнение $z^2 - 2z + a = 0$ имеет корень $1 + i$;

б) уравнение $z^2 + 6z + a = 0$ имеет корень $i - 3$;

в) уравнение $z^2 - 8z + (a^2 + 9) = 0$ имеет корень $4 - 3i$;

г) уравнение $z^2 + 10z + (a^2 + 4a + 5) = 0$ имеет корень $-5 + i$?

а)

Для того чтобы уравнение $z^2 - 2z + a = 0$ имело корень $z = 1 + i$, необходимо, чтобы это комплексное число было решением уравнения. Подставим $z = 1 + i$ в уравнение:

$(1 + i)^2 - 2(1 + i) + a = 0$

Раскроем скобки и выполним алгебраические преобразования, учитывая, что $i^2 = -1$:

$(1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2) - 2 - 2i + a = 0$

$(1 + 2i - 1) - 2 - 2i + a = 0$

$2i - 2 - 2i + a = 0$

После приведения подобных членов получаем:

$-2 + a = 0$

Отсюда находим значение параметра $a$:

$a = 2$

Ответ: $a = 2$.

б)

Аналогично предыдущему пункту, подставим корень $z = i - 3$ (что то же самое, что $z = -3 + i$) в уравнение $z^2 + 6z + a = 0$:

$(-3 + i)^2 + 6(-3 + i) + a = 0$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$((-3)^2 + 2(-3)i + i^2) + ( -18 + 6i) + a = 0$

$(9 - 6i - 1) - 18 + 6i + a = 0$

$8 - 6i - 18 + 6i + a = 0$

Сократим мнимые части и приведем подобные слагаемые:

$-10 + a = 0$

Отсюда находим $a$:

$a = 10$

Ответ: $a = 10$.

в)

Подставим корень $z = 4 - 3i$ в уравнение $z^2 - 8z + (a^2 + 9) = 0$:

$(4 - 3i)^2 - 8(4 - 3i) + (a^2 + 9) = 0$

Выполним вычисления:

$(4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3i + (3i)^2) - (32 - 24i) + a^2 + 9 = 0$

$(16 - 24i + 9i^2) - 32 + 24i + a^2 + 9 = 0$

$(16 - 24i - 9) - 32 + 24i + a^2 + 9 = 0$

$7 - 24i - 32 + 24i + a^2 + 9 = 0$

Соберем действительные и мнимые части:

$(7 - 32 + 9 + a^2) + (-24i + 24i) = 0$

$a^2 - 16 = 0$

Решим полученное уравнение относительно $a$:

$a^2 = 16$

$a = \pm\sqrt{16}$

Таким образом, получаем два значения: $a_1 = 4$ и $a_2 = -4$.

Ответ: $a = 4, a = -4$.

г)

Подставим корень $z = -5 + i$ в уравнение $z^2 + 10z + (a^2 + 4a + 5) = 0$:

$(-5 + i)^2 + 10(-5 + i) + (a^2 + 4a + 5) = 0$

Раскроем скобки и упростим:

$((-5)^2 + 2(-5)i + i^2) + (-50 + 10i) + a^2 + 4a + 5 = 0$

$(25 - 10i - 1) - 50 + 10i + a^2 + 4a + 5 = 0$

$24 - 10i - 50 + 10i + a^2 + 4a + 5 = 0$

Сгруппируем члены:

$(24 - 50 + 5 + a^2 + 4a) + (-10i + 10i) = 0$

$a^2 + 4a - 21 = 0$

Мы получили квадратное уравнение для параметра $a$. Решим его с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(1)(-21) = 16 + 84 = 100$

$a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{-4 \pm 10}{2}$

Находим два корня:

$a_1 = \frac{-4 + 10}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$a_2 = \frac{-4 - 10}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Ответ: $a = 3, a = -7$.