Номер 35.4, страница 203, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

35.4. Решите уравнение:

a) $z^2 + 144 = 0;$

б) $\frac{5z^2 - 29}{z + 3\sqrt{5}} = z - \sqrt{45};$

В) $z^2 + 441 = 0;$

Г) $\frac{3z^2 + 2004}{z - \sqrt{44}} = z + 2\sqrt{11}.$

а) $z^2 + 144 = 0$

Это квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть:

$z^2 = -144$

Чтобы найти $z$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Поскольку под корнем находится отрицательное число, решение будет в области комплексных чисел. Используем мнимую единицу $i$, где $i = \sqrt{-1}$.

$z = \pm\sqrt{-144} = \pm\sqrt{144 \cdot (-1)} = \pm\sqrt{144} \cdot \sqrt{-1}$

Так как $\sqrt{144} = 12$, получаем:

$z = \pm12i$

Уравнение имеет два комплексных сопряженных корня.

Ответ: $z_1 = 12i, z_2 = -12i$.

б) $\frac{5z^2 - 29}{z + 3\sqrt{5}} = z - \sqrt{45}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

$z + 3\sqrt{5} \neq 0 \implies z \neq -3\sqrt{5}$

Упростим корень в правой части уравнения:

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$

Теперь уравнение имеет вид:

$\frac{5z^2 - 29}{z + 3\sqrt{5}} = z - 3\sqrt{5}$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(z + 3\sqrt{5})$, чтобы избавиться от дроби:

$5z^2 - 29 = (z - 3\sqrt{5})(z + 3\sqrt{5})$

Правая часть является произведением разности и суммы двух выражений, что равно разности их квадратов по формуле $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$5z^2 - 29 = z^2 - (3\sqrt{5})^2$

$5z^2 - 29 = z^2 - (9 \cdot 5)$

$5z^2 - 29 = z^2 - 45$

Сгруппируем члены с переменной $z$ в левой части, а постоянные члены — в правой:

$5z^2 - z^2 = -45 + 29$

$4z^2 = -16$

Разделим обе части на 4:

$z^2 = -4$

Извлечем квадратный корень:

$z = \pm\sqrt{-4} = \pm\sqrt{4 \cdot (-1)} = \pm 2i$

Полученные корни $2i$ и $-2i$ не равны $-3\sqrt{5}$, следовательно, они входят в ОДЗ.

Ответ: $z_1 = 2i, z_2 = -2i$.

в) $z^2 + 441 = 0$

Перенесем 441 в правую часть уравнения:

$z^2 = -441$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$z = \pm\sqrt{-441} = \pm\sqrt{441} \cdot i$

Поскольку $21^2 = 441$, то $\sqrt{441} = 21$.

$z = \pm21i$

Уравнение имеет два комплексных сопряженных корня.

Ответ: $z_1 = 21i, z_2 = -21i$.

г) $\frac{3z^2 + 2004}{z - \sqrt{44}} = z + 2\sqrt{11}$

Найдем ОДЗ. Знаменатель не может быть равен нулю:

$z - \sqrt{44} \neq 0$

Упростим $\sqrt{44} = \sqrt{4 \cdot 11} = 2\sqrt{11}$. Таким образом, $z \neq 2\sqrt{11}$.

Подставим упрощенное значение в уравнение:

$\frac{3z^2 + 2004}{z - 2\sqrt{11}} = z + 2\sqrt{11}$

Умножим обе части на $(z - 2\sqrt{11})$:

$3z^2 + 2004 = (z + 2\sqrt{11})(z - 2\sqrt{11})$

Применим формулу разности квадратов в правой части:

$3z^2 + 2004 = z^2 - (2\sqrt{11})^2$

$3z^2 + 2004 = z^2 - (4 \cdot 11)$

$3z^2 + 2004 = z^2 - 44$

Перенесем члены с $z$ влево, а константы вправо:

$3z^2 - z^2 = -44 - 2004$

$2z^2 = -2048$

Разделим на 2:

$z^2 = -1024$

Извлечем квадратный корень:

$z = \pm\sqrt{-1024} = \pm\sqrt{1024} \cdot i$

Так как $32^2 = 1024$, то $\sqrt{1024} = 32$.

$z = \pm32i$

Полученные корни $32i$ и $-32i$ не равны $2\sqrt{11}$, значит, они удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $z_1 = 32i, z_2 = -32i$.