Номер 35.10, страница 204, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

35.10. При каких значениях параметра a:

а) уравнение $z^2 + az + 5 = 0$ имеет корень $2 + i$;

б) уравнение $z^2 + az + 13 = 0$ имеет корень $-2 - 3i$;

в) уравнение $z^2 + (1 - a^2)z + 25 = 0$ имеет корень $4 + 3i$;

г) уравнение $z^2 + (a^2 + 2a + 2)z + 41 = 0$ имеет корень $-5 + 4i$?

Чтобы найти значение параметра $a$, при котором уравнение $z^2 + az + 5 = 0$ имеет корень $z = 2 + i$, подставим это значение в уравнение.

$(2 + i)^2 + a(2 + i) + 5 = 0$

Сначала вычислим квадрат комплексного числа: $(2 + i)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot i + i^2 = 4 + 4i - 1 = 3 + 4i$.

Теперь подставим полученный результат обратно в уравнение:

$(3 + 4i) + a(2 + i) + 5 = 0$

Сгруппируем известные члены:

$8 + 4i + a(2 + i) = 0$

Выразим слагаемое, содержащее $a$:

$a(2 + i) = -8 - 4i$

Теперь найдем $a$, разделив правую часть на $(2 + i)$:

$a = \frac{-8 - 4i}{2 + i}$

В числителе можно вынести общий множитель $-4$:

$a = \frac{-4(2 + i)}{2 + i} = -4$

Ответ: $a = -4$.

Подставим корень $z = -2 - 3i$ в уравнение $z^2 + az + 13 = 0$.

$(-2 - 3i)^2 + a(-2 - 3i) + 13 = 0$

Вычислим квадрат: $(-2 - 3i)^2 = ((-1)(2 + 3i))^2 = (2 + 3i)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot 3i + (3i)^2 = 4 + 12i + 9i^2 = 4 + 12i - 9 = -5 + 12i$.

Подставим результат в уравнение:

$(-5 + 12i) + a(-2 - 3i) + 13 = 0$

Сгруппируем известные члены:

$8 + 12i + a(-2 - 3i) = 0$

$8 + 12i - a(2 + 3i) = 0$

Выразим слагаемое с $a$:

$a(2 + 3i) = 8 + 12i$

Найдем $a$:

$a = \frac{8 + 12i}{2 + 3i}$

В числителе вынесем общий множитель $4$:

$a = \frac{4(2 + 3i)}{2 + 3i} = 4$

Ответ: $a = 4$.

Подставим корень $z = 4 + 3i$ в уравнение $z^2 + (1 - a^2)z + 25 = 0$.

$(4 + 3i)^2 + (1 - a^2)(4 + 3i) + 25 = 0$

Вычислим квадрат: $(4 + 3i)^2 = 4^2 + 2 \cdot 4 \cdot 3i + (3i)^2 = 16 + 24i + 9i^2 = 16 + 24i - 9 = 7 + 24i$.

Подставим результат в уравнение:

$(7 + 24i) + (1 - a^2)(4 + 3i) + 25 = 0$

Сгруппируем известные члены:

$32 + 24i + (1 - a^2)(4 + 3i) = 0$

Выразим слагаемое с $a$:

$(1 - a^2)(4 + 3i) = -32 - 24i$

Выразим множитель $(1 - a^2)$:

$1 - a^2 = \frac{-32 - 24i}{4 + 3i}$

В числителе вынесем общий множитель $-8$:

$1 - a^2 = \frac{-8(4 + 3i)}{4 + 3i} = -8$

Теперь решим полученное уравнение относительно $a$:

$1 - a^2 = -8$

$a^2 = 1 - (-8) = 9$

$a = \pm\sqrt{9}$

Таким образом, $a = 3$ или $a = -3$.

Ответ: $a = \pm 3$.

Подставим корень $z = -5 + 4i$ в уравнение $z^2 + (a^2 + 2a + 2)z + 41 = 0$.

$(-5 + 4i)^2 + (a^2 + 2a + 2)(-5 + 4i) + 41 = 0$

Вычислим квадрат: $(-5 + 4i)^2 = (-5)^2 + 2 \cdot (-5) \cdot 4i + (4i)^2 = 25 - 40i + 16i^2 = 25 - 40i - 16 = 9 - 40i$.

Подставим результат в уравнение:

$(9 - 40i) + (a^2 + 2a + 2)(-5 + 4i) + 41 = 0$

Сгруппируем известные члены:

$50 - 40i + (a^2 + 2a + 2)(-5 + 4i) = 0$

Выразим слагаемое с $a$:

$(a^2 + 2a + 2)(-5 + 4i) = -50 + 40i$

Выразим множитель $(a^2 + 2a + 2)$:

$a^2 + 2a + 2 = \frac{-50 + 40i}{-5 + 4i}$

В числителе вынесем общий множитель $10$:

$a^2 + 2a + 2 = \frac{10(-5 + 4i)}{-5 + 4i} = 10$

Теперь решим полученное квадратное уравнение относительно $a$:

$a^2 + 2a + 2 = 10$

$a^2 + 2a - 8 = 0$

Это квадратное уравнение можно решить, например, разложением на множители:

$(a + 4)(a - 2) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $a$:

$a_1 = -4$, $a_2 = 2$.

Ответ: $a = -4; 2$.