Номер 35.5, страница 204, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа:

35.5. a) $i$ и $-i$;

б) $7 + 2i$ и $7 - 2i$;

в) $7i$ и $-7i$;

г) $1 + i$ и $1 - i$.

Для составления квадратного уравнения вида $z^2 + pz + q = 0$ по его известным корням $z_1$ и $z_2$ воспользуемся теоремой Виета. Согласно этой теореме, коэффициенты приведенного квадратного уравнения связаны с его корнями следующими соотношениями:

$p = -(z_1 + z_2)$

$q = z_1 \cdot z_2$

Таким образом, искомое квадратное уравнение можно записать в виде:

$z^2 - (z_1 + z_2)z + (z_1 \cdot z_2) = 0$

Применим эту формулу для каждого из пунктов задачи.

а) Даны корни $z_1 = i$ и $z_2 = -i$.

1. Найдем сумму корней:

$z_1 + z_2 = i + (-i) = 0$

2. Найдем произведение корней, учитывая, что $i^2 = -1$:

$z_1 \cdot z_2 = i \cdot (-i) = -i^2 = -(-1) = 1$

3. Подставим найденные значения суммы и произведения в общую формулу уравнения:

$z^2 - (0) \cdot z + 1 = 0$

В результате получаем уравнение:

$z^2 + 1 = 0$

Ответ: $z^2 + 1 = 0$

б) Даны корни $z_1 = 7 + 2i$ и $z_2 = 7 - 2i$.

1. Найдем сумму корней:

$z_1 + z_2 = (7 + 2i) + (7 - 2i) = 7 + 7 + 2i - 2i = 14$

2. Найдем произведение корней. Это произведение сопряженных комплексных чисел, которое вычисляется по формуле $(a+bi)(a-bi) = a^2 + b^2$:

$z_1 \cdot z_2 = (7 + 2i)(7 - 2i) = 7^2 - (2i)^2 = 49 - 4i^2 = 49 - 4(-1) = 49 + 4 = 53$

3. Подставим найденные значения в общую формулу уравнения:

$z^2 - 14z + 53 = 0$

Ответ: $z^2 - 14z + 53 = 0$

в) Даны корни $z_1 = 7i$ и $z_2 = -7i$.

1. Найдем сумму корней:

$z_1 + z_2 = 7i + (-7i) = 0$

2. Найдем произведение корней:

$z_1 \cdot z_2 = (7i)(-7i) = -49i^2 = -49(-1) = 49$

3. Подставим найденные значения в общую формулу уравнения:

$z^2 - (0) \cdot z + 49 = 0$

В результате получаем уравнение:

$z^2 + 49 = 0$

Ответ: $z^2 + 49 = 0$

г) Даны корни $z_1 = 1 + i$ и $z_2 = 1 - i$.

1. Найдем сумму корней:

$z_1 + z_2 = (1 + i) + (1 - i) = 1 + 1 + i - i = 2$

2. Найдем произведение корней:

$z_1 \cdot z_2 = (1 + i)(1 - i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$

3. Подставим найденные значения в общую формулу уравнения:

$z^2 - 2z + 2 = 0$

Ответ: $z^2 - 2z + 2 = 0$