Номер 35.2, страница 203, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

35.2. Найдите все действительные значения параметра $a$, при которых уравнение $x^2 + ax + 9 = 0$:

а) имеет хотя бы один действительный корень;

б) не имеет действительных корней;

в) имеет хотя бы один отрицательный корень;

г) имеет два действительных корня, больших чем 1.

Рассмотрим квадратное уравнение $x^2 + ax + 9 = 0$.

Это приведенное квадратное уравнение, для которого мы можем определить дискриминант $D$ для анализа количества действительных корней.

Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае коэффициенты равны $b=a$, $a=1$, $c=9$.

$D = a^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = a^2 - 36$.

Наличие и количество действительных корней зависят от знака дискриминанта:

• Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
• Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих).
• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

а) имеет хотя бы один действительный корень;

Условие "имеет хотя бы один действительный корень" означает, что уравнение имеет либо один, либо два действительных корня. Это соответствует случаю, когда дискриминант неотрицателен, то есть $D \ge 0$.

Решим неравенство:

$a^2 - 36 \ge 0$

$a^2 \ge 36$

Решением этого неравенства является объединение промежутков $a \le -6$ и $a \ge 6$.

Ответ: $a \in (-\infty, -6] \cup [6, \infty)$.

б) не имеет действительных корней;

Уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант строго отрицателен, то есть $D < 0$.

Решим неравенство:

$a^2 - 36 < 0$

$a^2 < 36$

Решением этого неравенства является интервал $-6 < a < 6$.

Ответ: $a \in (-6, 6)$.

в) имеет хотя бы один отрицательный корень;

Сначала убедимся, что у уравнения есть действительные корни, то есть $D \ge 0$, что, как мы выяснили в пункте а), выполняется при $a \in (-\infty, -6] \cup [6, \infty)$.

Воспользуемся теоремой Виета. Для корней $x_1$ и $x_2$ нашего уравнения справедливы соотношения:

$x_1 + x_2 = -a$

$x_1 \cdot x_2 = 9$

Поскольку произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 9$ положительно, оба корня должны иметь одинаковый знак (либо оба положительны, либо оба отрицательны). Следовательно, если хотя бы один корень отрицателен, то и второй корень тоже должен быть отрицательным.

Для того чтобы оба корня были отрицательными, их сумма должна быть отрицательной: $x_1 + x_2 < 0$.

$-a < 0 \implies a > 0$.

Теперь объединим оба условия для параметра $a$: наличие корней и их отрицательность.

$\begin{cases} a \in (-\infty, -6] \cup [6, \infty) \\ a > 0 \end{cases}$

Пересечением этих множеств является промежуток $[6, \infty)$.

Ответ: $a \in [6, \infty)$.

г) имеет два действительных корня, больших чем 1.

Пусть $f(x) = x^2 + ax + 9$. Условие "имеет два действительных корня" означает, что $D \ge 0$. Нам нужно найти такие значения $a$, при которых оба корня $x_1$ и $x_2$ удовлетворяют условию $x_1 > 1$ и $x_2 > 1$.

Для этого должны выполняться три условия для параболы $y = f(x)$, ветви которой направлены вверх:

1. Наличие действительных корней: $D = a^2 - 36 \ge 0$, что дает $a \in (-\infty, -6] \cup [6, \infty)$.
2. Абсцисса вершины параболы $x_в = -\frac{a}{2}$ должна быть больше 1: $-\frac{a}{2} > 1 \implies -a > 2 \implies a < -2$.
3. Значение функции в точке $x=1$ должно быть положительным (так как 1 находится левее обоих корней, а ветви параболы идут вверх): $f(1) = 1^2 + a \cdot 1 + 9 > 0 \implies a + 10 > 0 \implies a > -10$.

Соберем все три условия в систему неравенств:

$\begin{cases} a \in (-\infty, -6] \cup [6, \infty) \\ a < -2 \\ a > -10 \end{cases}$

Из второго и третьего неравенств следует, что $a$ должно находиться в интервале $(-10, -2)$.

Теперь найдем пересечение этого интервала с множеством из первого условия:

$(-10, -2) \cap ((-\infty, -6] \cup [6, \infty))$

Результатом пересечения является полуинтервал $(-10, -6]$.

Ответ: $a \in (-10, -6]$.