Номер 34.37, страница 202, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

34.37. Каждое комплексное число, действительная часть которого равна -4, умножили на $z$. Изобразите на комплексной плоскости полученное множество чисел, если:

а) $z = i$;

б) $z = -3i$;

в) $z = 1 - \sqrt{3}i$;

г) $z = 3 - i$.

Пусть исходное множество комплексных чисел, действительная часть которых равна -4, обозначается как $W$. Любое число $w$ из этого множества можно представить в виде $w = -4 + yi$, где $y$ — любое действительное число ($y \in \mathbb{R}$). На комплексной плоскости это множество точек $(x, y)$ образует вертикальную прямую, заданную уравнением $x = -4$.

Мы умножаем каждое число $w$ на заданное комплексное число $z$. Полученное число $w'$ будет равно $w' = w \cdot z$. Пусть $w' = x' + y'i$. Наша задача — найти, какое множество точек $(x', y')$ образуют числа $w'$ для каждого случая.

а) z = i

Найдем произведение $w' = w \cdot z$:

$w' = (-4 + yi) \cdot i = -4i + yi^2 = -4i - y = -y - 4i$

Действительная и мнимая части полученного числа $w'$ равны:

$x' = \text{Re}(w') = -y$

$y' = \text{Im}(w') = -4$

Поскольку $y$ может принимать любое действительное значение, $x' = -y$ также может принимать любое действительное значение. При этом мнимая часть $y'$ всегда равна -4. Таким образом, полученное множество чисел на комплексной плоскости представляет собой горизонтальную прямую, заданную уравнением $y' = -4$.

Геометрически умножение на $z=i$ соответствует повороту на угол $\frac{\pi}{2}$ (или 90°) против часовой стрелки. Поворот вертикальной прямой $x=-4$ на 90° дает горизонтальную прямую $y=-4$.

Ответ: Горизонтальная прямая, заданная уравнением $y = -4$.

б) z = -3i

Найдем произведение $w' = w \cdot z$:

$w' = (-4 + yi) \cdot (-3i) = (-4)(-3i) + (yi)(-3i) = 12i - 3yi^2 = 12i + 3y = 3y + 12i$

Действительная и мнимая части полученного числа $w'$ равны:

$x' = \text{Re}(w') = 3y$

$y' = \text{Im}(w') = 12$

Поскольку $y$ может принимать любое действительное значение, $x' = 3y$ также может принимать любое действительное значение. Мнимая часть $y'$ всегда равна 12. Следовательно, полученное множество чисел — это горизонтальная прямая $y' = 12$.

Геометрически умножение на $z=-3i$ соответствует повороту на угол $-\frac{\pi}{2}$ (или 90° по часовой стрелке) и растяжению в 3 раза (так как $|-3i|=3$). Поворот вертикальной прямой $x=-4$ на -90° дает горизонтальную прямую. Точка $(-4, 0)$ переходит в точку $(-4) \cdot (-3i) = 12i$, то есть $(0, 12)$. Таким образом, мы получаем прямую $y=12$.

Ответ: Горизонтальная прямая, заданная уравнением $y = 12$.

в) z = 1 - iv3

Найдем произведение $w' = w \cdot z$:

$w' = (-4 + yi) \cdot (1 - i\sqrt{3}) = -4(1 - i\sqrt{3}) + yi(1 - i\sqrt{3}) = -4 + 4i\sqrt{3} + yi - y\sqrt{3}i^2$

$w' = -4 + 4i\sqrt{3} + yi + y\sqrt{3} = (-4 + y\sqrt{3}) + (y + 4\sqrt{3})i$

Действительная и мнимая части полученного числа $w'$ равны:

$x' = -4 + y\sqrt{3}$

$y' = y + 4\sqrt{3}$

Выразим $y$ из второго уравнения: $y = y' - 4\sqrt{3}$. Подставим это выражение в первое уравнение, чтобы найти связь между $x'$ и $y'$:

$x' = -4 + (y' - 4\sqrt{3})\sqrt{3} = -4 + y'\sqrt{3} - 4(\sqrt{3})^2 = -4 + y'\sqrt{3} - 12 = y'\sqrt{3} - 16$

Получаем уравнение прямой: $x' = y'\sqrt{3} - 16$, или $x' - y'\sqrt{3} + 16 = 0$.

Ответ: Прямая, заданная уравнением $x - \sqrt{3}y + 16 = 0$.

г) z = 3 - i

Найдем произведение $w' = w \cdot z$:

$w' = (-4 + yi) \cdot (3 - i) = -4(3 - i) + yi(3 - i) = -12 + 4i + 3yi - yi^2$

$w' = -12 + 4i + 3yi + y = (-12 + y) + (4 + 3y)i$

Действительная и мнимая части полученного числа $w'$ равны:

$x' = y - 12$

$y' = 3y + 4$

Выразим $y$ из первого уравнения: $y = x' + 12$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$y' = 3(x' + 12) + 4 = 3x' + 36 + 4 = 3x' + 40$

Получаем уравнение прямой: $y' = 3x' + 40$.

Ответ: Прямая, заданная уравнением $y = 3x + 40$.