Номер 34.30, страница 201, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

34.30. a) $8 \left( \cos \frac{7\pi}{12} + i \sin \frac{7\pi}{12} \right) : 4 \left( \cos \left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right) \right);$

б) $(10 + 10i) : \left( \sqrt{2} \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right) \right);$

в) $12 \left( \cos \left(\frac{5\pi}{6}\right) + i \sin \left(\frac{5\pi}{6}\right) \right) : 0,3 \left( \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) \right);$

г) $16 \left( \cos \left(-\frac{\pi}{6}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right) \right) : (4 - 4\sqrt{3}i).$

а) Для деления комплексных чисел в тригонометрической форме $z_1 = r_1(\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1)$ и $z_2 = r_2(\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)$ используется формула: $$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2)) $$ В данном случае $z_1 = 8\left(\cos\frac{7\pi}{12} + i \sin\frac{7\pi}{12}\right)$ и $z_2 = 4\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)$. Их модули и аргументы: $r_1 = 8, \varphi_1 = \frac{7\pi}{12}$ и $r_2 = 4, \varphi_2 = -\frac{\pi}{4}$. Находим отношение модулей: $\frac{r_1}{r_2} = \frac{8}{4} = 2$. Находим разность аргументов: $\varphi_1 - \varphi_2 = \frac{7\pi}{12} - \left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{7\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} = \frac{10\pi}{12} = \frac{5\pi}{6}$. Результат деления в тригонометрической форме: $$ 2\left(\cos\frac{5\pi}{6} + i \sin\frac{5\pi}{6}\right) $$ Переведем его в алгебраическую форму, подставив значения косинуса и синуса: $$ 2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i \cdot \frac{1}{2}\right) = -\sqrt{3} + i $$ Ответ: $-\sqrt{3} + i$.

б) Сначала представим число $z_1 = 10 + 10i$ в тригонометрической форме. Модуль числа: $r_1 = |10 + 10i| = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$. Аргумент числа: так как $\text{Re}(z_1) > 0$ и $\text{Im}(z_1) > 0$, $\tan \varphi_1 = \frac{10}{10} = 1$, откуда $\varphi_1 = \frac{\pi}{4}$. Итак, $z_1 = 10\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i \sin\frac{\pi}{4}\right)$. Второе число $z_2 = \sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4} + i \sin\frac{3\pi}{4}\right)$. Выполним деление: $$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4} - \frac{3\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{3\pi}{4}\right)\right) $$ $$ \frac{z_1}{z_2} = 10\left(\cos\left(-\frac{2\pi}{4}\right) + i \sin\left(-\frac{2\pi}{4}\right)\right) = 10\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) $$ Переведем результат в алгебраическую форму: $$ 10(0 + i(-1)) = -10i $$ Ответ: $-10i$.

в) Выполним деление комплексных чисел $z_1 = 12\left(\cos\frac{5\pi}{6} + i \sin\frac{5\pi}{6}\right)$ и $z_2 = 0,3\left(\cos\frac{\pi}{3} + i \sin\frac{\pi}{3}\right)$ в тригонометрической форме. Их модули и аргументы: $r_1 = 12, \varphi_1 = \frac{5\pi}{6}$ и $r_2 = 0,3, \varphi_2 = \frac{\pi}{3}$. Находим отношение модулей: $$ \frac{r_1}{r_2} = \frac{12}{0,3} = \frac{120}{3} = 40 $$ Находим разность аргументов: $$ \varphi_1 - \varphi_2 = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2} $$ Результат деления в тригонометрической форме: $$ 40\left(\cos\frac{\pi}{2} + i \sin\frac{\pi}{2}\right) $$ Переведем его в алгебраическую форму: $$ 40(0 + i \cdot 1) = 40i $$ Ответ: $40i$.

г) Сначала представим делитель $z_2 = 4 - 4\sqrt{3}i$ в тригонометрической форме. Модуль числа: $r_2 = |4 - 4\sqrt{3}i| = \sqrt{4^2 + (-4\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 48} = \sqrt{64} = 8$. Аргумент числа: $\cos \varphi_2 = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ и $\sin \varphi_2 = \frac{-4\sqrt{3}}{8} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Этим условиям соответствует угол $\varphi_2 = -\frac{\pi}{3}$. Итак, $z_2 = 8\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)$. Делимое: $z_1 = 16\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)$. Выполним деление: $$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{16}{8}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6} - \left(-\frac{\pi}{3}\right)\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{6} - \left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)\right) $$ $$ \frac{z_1}{z_2} = 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6}\right)\right) = 2\left(\cos\frac{\pi}{6} + i \sin\frac{\pi}{6}\right) $$ Переведем результат в алгебраическую форму: $$ 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + i \cdot \frac{1}{2}\right) = \sqrt{3} + i $$ Ответ: $\sqrt{3} + i$.