Номер 34.25, страница 200, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

34.25. а) $3 - 4i$;

б) $-5 + 12i$;

В) $6 + 8i$;

Г) $-15 - 8i$.

а)

Чтобы найти квадратный корень из комплексного числа $z = 3 - 4i$, будем искать его в виде $w = x + yi$ так, чтобы $w^2 = z$.

$(x + yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi$.

Приравнивая действительные и мнимые части к $3 - 4i$, получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 3 \\ 2xy = -4\end{cases}$

Также воспользуемся свойством модуля: $|w^2| = |z|$, откуда $|w|^2 = |z|$, то есть $x^2 + y^2 = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Теперь у нас есть более простая для решения система:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 3 \\ x^2 + y^2 = 5\end{cases}$

Сложив эти два уравнения, получим: $2x^2 = 8 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.

Вычтем первое уравнение из второго: $2y^2 = 2 \implies y^2 = 1 \implies y = \pm 1$.

Из условия $2xy = -4$ (или $xy = -2$) следует, что $x$ и $y$ должны иметь разные знаки. Таким образом, у нас есть два возможных решения:

• Если $x = 2$, то $y = -1$, что дает корень $2 - i$.
• Если $x = -2$, то $y = 1$, что дает корень $-2 + i$.

Оба корня можно записать как $\pm(2 - i)$.

Ответ: $\pm(2 - i)$

б)

Найдем квадратный корень из комплексного числа $z = -5 + 12i$. Пусть корень равен $x + yi$. Тогда $(x + yi)^2 = -5 + 12i$.

Модуль числа $|z| = \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = -5 \\ x^2 + y^2 = 13 \\ 2xy = 12\end{cases}$

Сложим первое и второе уравнения: $2x^2 = 8 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.

Вычтем первое уравнение из второго: $2y^2 = 18 \implies y^2 = 9 \implies y = \pm 3$.

Из условия $2xy = 12$ (или $xy = 6$) следует, что $x$ и $y$ должны иметь одинаковые знаки. Таким образом, у нас есть два возможных решения:

• Если $x = 2$, то $y = 3$, что дает корень $2 + 3i$.
• Если $x = -2$, то $y = -3$, что дает корень $-2 - 3i$.

Оба корня можно записать как $\pm(2 + 3i)$.

Ответ: $\pm(2 + 3i)$

в)

Найдем квадратный корень из комплексного числа $z = 6 + 8i$. Пусть корень равен $x + yi$. Тогда $(x + yi)^2 = 6 + 8i$.

Модуль числа $|z| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 6 \\ x^2 + y^2 = 10 \\ 2xy = 8\end{cases}$

Сложим первое и второе уравнения: $2x^2 = 16 \implies x^2 = 8 \implies x = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$.

Вычтем первое уравнение из второго: $2y^2 = 4 \implies y^2 = 2 \implies y = \pm \sqrt{2}$.

Из условия $2xy = 8$ (или $xy = 4$) следует, что $x$ и $y$ должны иметь одинаковые знаки. Таким образом, у нас есть два возможных решения:

• Если $x = 2\sqrt{2}$, то $y = \sqrt{2}$, что дает корень $2\sqrt{2} + i\sqrt{2}$.
• Если $x = -2\sqrt{2}$, то $y = -\sqrt{2}$, что дает корень $-2\sqrt{2} - i\sqrt{2}$.

Оба корня можно записать как $\pm(2\sqrt{2} + i\sqrt{2})$.

Ответ: $\pm(2\sqrt{2} + i\sqrt{2})$

г)

Найдем квадратный корень из комплексного числа $z = -15 - 8i$. Пусть корень равен $x + yi$. Тогда $(x + yi)^2 = -15 - 8i$.

Модуль числа $|z| = \sqrt{(-15)^2 + (-8)^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$.

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = -15 \\ x^2 + y^2 = 17 \\ 2xy = -8\end{cases}$

Сложим первое и второе уравнения: $2x^2 = 2 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.

Вычтем первое уравнение из второго: $2y^2 = 32 \implies y^2 = 16 \implies y = \pm 4$.

Из условия $2xy = -8$ (или $xy = -4$) следует, что $x$ и $y$ должны иметь разные знаки. Таким образом, у нас есть два возможных решения:

• Если $x = 1$, то $y = -4$, что дает корень $1 - 4i$.
• Если $x = -1$, то $y = 4$, что дает корень $-1 + 4i$.

Оба корня можно записать как $\pm(1 - 4i)$.

Ответ: $\pm(1 - 4i)$