Номер 34.20, страница 200, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

34.20. Изобразите на комплексной плоскости множество всех тех чисел z, у которых:

a) $\frac{\pi}{2} < \arg(z) < \frac{3\pi}{4}$ и $|z| = 2$;

б) $\frac{\pi}{2} < \arg(z) < \frac{3\pi}{4}$ и $3 < |z| < 5$;

в) $-\frac{3\pi}{4} < \arg(z) < \frac{\pi}{6}$ и $|z| = 8$;

г) $-\frac{5\pi}{6} < \arg(z) < \frac{2\pi}{3}$ или $1 < |z| < 2$.

а) Условие $|z| = 2$ задает на комплексной плоскости окружность с центром в начале координат и радиусом, равным $2$. Условие $\frac{\pi}{2} < \arg(z) < \frac{3\pi}{4}$ задает открытый угловой сектор, ограниченный лучами, выходящими из начала координат под углами $\frac{\pi}{2}$ (положительная часть мнимой оси) и $\frac{3\pi}{4}$ (биссектриса второго координатного угла). Поскольку условия должны выполняться одновременно (союз "и"), искомое множество точек является пересечением этих двух множеств. Геометрически это дуга окружности $|z|=2$, расположенная во втором квадранте. Так как неравенства для аргумента строгие, концы дуги, соответствующие углам $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{4}$, не включаются в множество.
Ответ: Открытая дуга окружности с центром в начале координат и радиусом 2, заключенная между лучами $\arg(z) = \frac{\pi}{2}$ и $\arg(z) = \frac{3\pi}{4}$.

б) Условие $3 < |z| < 5$ задает на комплексной плоскости открытое кольцо, ограниченное окружностями с радиусами $3$ и $5$ и с центром в начале координат. Сами окружности в множество не входят. Условие $\frac{\pi}{2} < \arg(z) < \frac{3\pi}{4}$ задает открытый угловой сектор, как и в пункте а). Искомое множество является пересечением кольца и сектора (союз "и"). Это часть кольца, находящаяся между лучами, которые образуют угол от $\frac{\pi}{2}$ до $\frac{3\pi}{4}$ с положительным направлением действительной оси. Поскольку все неравенства строгие, границы множества (дуги окружностей и отрезки лучей) в него не входят.
Ответ: Открытый сектор кольца, расположенный между окружностями $|z|=3$ и $|z|=5$ и лучами $\arg(z)=\frac{\pi}{2}$ и $\arg(z)=\frac{3\pi}{4}$.

в) Условие $|z| = 8$ задает окружность с центром в начале координат и радиусом $8$. Условие $-\frac{3\pi}{4} < \arg(z) < \frac{\pi}{6}$ задает открытый угловой сектор, ограниченный лучами, выходящими из начала координат под углами $-\frac{3\pi}{4}$ ($-135^\circ$) и $\frac{\pi}{6}$ ($30^\circ$). Этот сектор охватывает часть третьего квадранта, весь четвертый квадрант и часть первого квадранта. Пересечение окружности и сектора (союз "и") представляет собой дугу этой окружности. Так как неравенства для аргумента строгие, концы дуги не принадлежат искомому множеству.
Ответ: Открытая дуга окружности с центром в начале координат и радиусом 8, заключенная между лучами $\arg(z) = -\frac{3\pi}{4}$ и $\arg(z) = \frac{\pi}{6}$.

г) В данном случае условия соединены союзом "или", что означает, что искомое множество является объединением двух множеств.
Первое множество, $M_1$, определяется условием $-\frac{5\pi}{6} < \arg(z) < \frac{2\pi}{3}$. Это открытый угловой сектор, ограниченный лучами, выходящими из начала координат под углами $-\frac{5\pi}{6}$ ($-150^\circ$) и $\frac{2\pi}{3}$ ($120^\circ$).
Второе множество, $M_2$, определяется условием $1 < |z| < 2$. Это открытое кольцо с центром в начале координат, расположенное между окружностями радиусов $1$ и $2$.
Искомое множество является объединением $M_1 \cup M_2$. Это все точки, которые лежат либо в указанном угловом секторе, либо в указанном кольце.
Ответ: Объединение двух множеств: открытого кольца $1 < |z| < 2$ и открытого углового сектора $-\frac{5\pi}{6} < \arg(z) < \frac{2\pi}{3}$.