Номер 34.19, страница 199, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

34.19. Изобразите на комплексной плоскости множество всех тех чисел, у которых аргумент:

а) больше чем $\frac{\pi}{2}$, но меньше чем $\frac{3\pi}{4}$;

б) больше чем $\frac{3\pi}{4}$, но меньше чем $\frac{\pi}{6}$;

в) больше чем $\frac{3\pi}{4}$ или меньше чем $\frac{\pi}{6}$;

г) отличается от $-\frac{2\pi}{3}$ не более чем на $\frac{\pi}{6}$.

а) больше чем $\frac{\pi}{2}$, но меньше чем $\frac{3\pi}{4}$

Пусть $z$ - комплексное число, а $\phi = \arg(z)$ - его аргумент. Условие задачи означает, что аргумент числа должен удовлетворять строгому двойному неравенству:

$\frac{\pi}{2} < \phi < \frac{3\pi}{4}$

На комплексной плоскости это множество представляет собой внутреннюю область угла (открытый угловой сектор). Этот сектор ограничен двумя лучами, исходящими из начала координат (точки $z=0$). Первый луч соответствует углу $\phi_1 = \frac{\pi}{2}$ (это положительная часть мнимой оси), а второй луч - углу $\phi_2 = \frac{3\pi}{4}$ (это луч во второй координатной четверти, образующий угол $135^\circ$ с положительным направлением действительной оси). Поскольку неравенства строгие, точки на самих лучах (границах сектора) не принадлежат искомому множеству. Точка $z=0$ (начало координат) также не принадлежит множеству, так как для нее аргумент не определен.

Ответ: Искомое множество представляет собой открытый угловой сектор во второй координатной четверти, заключенный между лучами $\arg(z)=\frac{\pi}{2}$ и $\arg(z)=\frac{3\pi}{4}$. Границы сектора и начало координат в множество не входят.

б) больше чем $-\frac{3\pi}{4}$, но меньше чем $\frac{\pi}{6}$

Аналогично предыдущему пункту, условие можно записать в виде неравенства для аргумента $\phi = \arg(z)$:

$-\frac{3\pi}{4} < \phi < \frac{\pi}{6}$

Это множество является открытым угловым сектором, ограниченным двумя лучами, выходящими из начала координат. Первый луч соответствует углу $\phi_1 = -\frac{3\pi}{4}$ (луч в третьей четверти, образующий угол $-135^\circ$ с положительным направлением действительной оси). Второй луч соответствует углу $\phi_2 = \frac{\pi}{6}$ (луч в первой четверти, образующий угол $30^\circ$). Сектор включает в себя часть третьей четверти, всю четвертую четверть (включая положительную действительную ось) и часть первой четверти. Так как неравенства строгие, сами лучи-границы и начало координат не принадлежат множеству.

Ответ: Искомое множество - это открытый угловой сектор, ограниченный лучами $\arg(z)=-\frac{3\pi}{4}$ и $\arg(z)=\frac{\pi}{6}$. Этот сектор содержит положительную действительную ось. Границы сектора и начало координат в множество не входят.

в) больше чем $\frac{3\pi}{4}$ или меньше чем $-\frac{\pi}{6}$

Данное условие представляет собой объединение двух неравенств для аргумента $\phi = \arg(z)$:

$\phi > \frac{3\pi}{4}$ или $\phi < -\frac{\pi}{6}$

Будем рассматривать главное значение аргумента, которое обычно выбирается в интервале $(-\pi, \pi]$. Тогда условие можно переписать так:

$(\frac{3\pi}{4} < \phi \leq \pi)$ или $(-\pi < \phi < -\frac{\pi}{6})$

Это множество представляет собой объединение двух секторов, которые вместе образуют один большой открытый угловой сектор. Этот сектор ограничен лучами $\phi_1 = \frac{3\pi}{4}$ (во второй четверти) и $\phi_2 = -\frac{\pi}{6}$ (в четвертой четверти). В искомое множество попадают все точки, лежащие в секторе, который содержит отрицательную действительную ось. Граничные лучи не включаются в множество, так как исходные неравенства строгие. Начало координат также исключено.

Ответ: Искомое множество - это открытый угловой сектор, ограниченный лучами $\arg(z)=\frac{3\pi}{4}$ и $\arg(z)=-\frac{\pi}{6}$, и содержащий отрицательную действительную ось. Границы сектора и начало координат в множество не входят.

г) отличается от $-\frac{2\pi}{3}$ не более чем на $\frac{\pi}{6}$

Это условие означает, что расстояние между аргументом числа $\phi = \arg(z)$ и значением $-\frac{2\pi}{3}$ не превышает $\frac{\pi}{6}$. Математически это записывается с помощью модуля:

$|\phi - (-\frac{2\pi}{3})| \leq \frac{\pi}{6}$

Раскроем модуль:

$-\frac{\pi}{6} \leq \phi + \frac{2\pi}{3} \leq \frac{\pi}{6}$

Вычтем $\frac{2\pi}{3}$ из всех частей неравенства:

$-\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} \leq \phi \leq -\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6}$

$-\frac{4\pi}{6} - \frac{\pi}{6} \leq \phi \leq -\frac{4\pi}{6} + \frac{\pi}{6}$

$-\frac{5\pi}{6} \leq \phi \leq -\frac{\pi}{2}$

Это множество представляет собой замкнутый угловой сектор, расположенный в третьей координатной четверти. Он ограничен лучами $\phi_1 = -\frac{5\pi}{6}$ (угол $-150^\circ$) и $\phi_2 = -\frac{\pi}{2}$ (отрицательная мнимая ось). Поскольку неравенство нестрогое ("не более чем"), граничные лучи принадлежат искомому множеству. Начало координат по-прежнему исключено.

Ответ: Искомое множество - это замкнутый угловой сектор в третьей четверти, ограниченный лучами $\arg(z)=-\frac{5\pi}{6}$ и $\arg(z)=-\frac{\pi}{2}$. Границы сектора включаются в множество, а начало координат - нет.