Номер 34.18, страница 199, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

34.18. Изобразите на комплексной плоскости множество всех тех чисел, у которых аргумент:

а) положителен;

б) отрицателен;

в) больше чем $\frac{\pi}{2}$;

г) меньше чем $\frac{\pi}{4}$.

Для решения задачи будем использовать комплексную плоскость, где по горизонтальной оси откладывается действительная часть числа ($Re(z) = x$), а по вертикальной — мнимая ($Im(z) = y$). Аргумент комплексного числа $z = x + iy$, обозначаемый как $\arg(z)$, — это угол $\varphi$ между положительным направлением действительной оси и вектором, проведенным из начала координат в точку $(x, y)$. Угол отсчитывается против часовой стрелки. Мы будем использовать главное значение аргумента, которое принято определять в интервале $(-\pi, \pi]$. Начало координат $z=0$ не имеет определенного аргумента и исключается из всех рассматриваемых множеств.

Условие "аргумент положителен" означает, что $\arg(z) > 0$. Если рассматривать главное значение аргумента $\varphi \in (-\pi, \pi]$, то это условие превращается в двойное неравенство $0 < \varphi \le \pi$.

Углу $\varphi = 0$ соответствуют точки на положительной действительной полуоси ($x>0, y=0$). Эти точки не включаются в множество, так как неравенство $0 < \varphi$ строгое.

Углу $\varphi = \pi$ соответствуют точки на отрицательной действительной полуоси ($x<0, y=0$). Эти точки включаются в множество, так как $\pi > 0$.

Углам в интервале $0 < \varphi < \pi$ соответствуют все точки, лежащие в первой и второй координатных четвертях. Это область, где мнимая часть комплексного числа строго положительна ($y > 0$), то есть вся верхняя полуплоскость.

Ответ: Искомое множество — это вся верхняя полуплоскость ($Im(z) > 0$), дополненная точками отрицательной действительной полуоси ($Re(z) < 0, Im(z) = 0$).

Условие "аргумент отрицателен" означает, что $\arg(z) < 0$. Для главного значения аргумента $\varphi \in (-\pi, \pi]$ это условие эквивалентно неравенству $-\pi < \varphi < 0$.

Это неравенство описывает все углы, находящиеся в третьей и четвертой координатных четвертях. Этим точкам соответствуют комплексные числа, у которых мнимая часть строго отрицательна ($y < 0$).

Точки на действительной оси не входят в это множество, так как для них аргумент равен $0$ (для положительных чисел) или $\pi$ (для отрицательных чисел), что не удовлетворяет условию $\arg(z) < 0$.

Ответ: Искомое множество — это вся нижняя полуплоскость, не включая действительную ось. Математически это множество точек $z$, для которых $Im(z) < 0$.

Условие "аргумент больше чем $\frac{\pi}{2}$" означает, что $\arg(z) > \frac{\pi}{2}$. Для главного значения аргумента $\varphi \in (-\pi, \pi]$ это условие задается неравенством $\frac{\pi}{2} < \varphi \le \pi$.

Это неравенство описывает угловой сектор.

Граница сектора, соответствующая углу $\varphi = \frac{\pi}{2}$, — это положительная мнимая полуось ($x=0, y>0$). Точки на ней не входят в множество, так как неравенство $\arg(z) > \frac{\pi}{2}$ строгое.

Граница сектора, соответствующая углу $\varphi = \pi$, — это отрицательная действительная полуось ($x<0, y=0$). Точки на ней входят в множество, так как $\pi > \frac{\pi}{2}$.

Все точки между этими лучами-границами лежат во второй координатной четверти ($x<0, y>0$).

Ответ: Искомое множество — это открытая вторая координатная четверть ($Re(z) < 0, Im(z) > 0$) вместе с точками на отрицательной действительной полуоси ($Re(z) < 0, Im(z) = 0$).

Условие "аргумент меньше чем $\frac{\pi}{4}$" означает, что $\arg(z) < \frac{\pi}{4}$. Для главного значения аргумента $\varphi \in (-\pi, \pi]$ это условие записывается в виде неравенства $-\pi < \varphi < \frac{\pi}{4}$.

Это неравенство описывает открытый угловой сектор.

Одна граница сектора — это луч, выходящий из начала координат под углом $\varphi = \frac{\pi}{4}$. Он описывается уравнением $y=x$ при $x>0$. Точки на этом луче не входят в искомое множество из-за строгости неравенства.

Другая "граница" соответствует углу $\varphi$, стремящемуся к $-\pi$. Точки с аргументом $\varphi = \pi$ (отрицательная действительная полуось) не удовлетворяют условию $\pi < \frac{\pi}{4}$, поэтому они не входят в множество.

Таким образом, в искомое множество входят все точки комплексной плоскости, кроме тех, чей аргумент $\varphi$ лежит в промежутке $[\frac{\pi}{4}, \pi]$.

Ответ: Вся комплексная плоскость, за исключением начала координат и замкнутого углового сектора, содержащего точки $z$, для которых $\frac{\pi}{4} \le \arg(z) \le \pi$.