Номер 34.17, страница 199, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

34.17. a) $\frac{2\pi}{3}$;

б) $-\frac{\pi}{6}$ или $\frac{5\pi}{6}$;

В) $-\frac{5\pi}{6}$;

Г) $-\frac{2\pi}{3}$ или $\frac{\pi}{3}$.

а)

Поскольку в задании приведен только ответ, мы можем предположить, что исходная задача заключалась в решении тригонометрического уравнения с дополнительным условием, которое приводит к единственному ответу. Наиболее вероятная задача — найти решение уравнения $\cos(x) = -\frac{1}{2}$ на промежутке $[-\pi, \pi]$, удовлетворяющее условию $x > 0$.

1. Решим уравнение $\cos(x) = -\frac{1}{2}$.

Общее решение уравнения $\cos(x) = a$ дается формулой $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для $a = -\frac{1}{2}$, имеем $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$.

Следовательно, общее решение: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. Найдем корни, принадлежащие промежутку $[-\pi, \pi]$.

Для серии $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$:

При $k=0$, $x = \frac{2\pi}{3}$. Этот корень входит в промежуток $[-\pi, \pi]$.

Для серии $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$:

При $k=0$, $x = -\frac{2\pi}{3}$. Этот корень также входит в промежуток $[-\pi, \pi]$.

Другие целочисленные значения $k$ дают корни за пределами указанного промежутка.

Таким образом, на промежутке $[-\pi, \pi]$ уравнение имеет два корня: $\frac{2\pi}{3}$ и $-\frac{2\pi}{3}$.

3. Применим дополнительное условие $x > 0$.

Из двух найденных корней только $x = \frac{2\pi}{3}$ является положительным.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$

б)

В этом случае даны два ответа, что характерно для решения тригонометрического уравнения на определенном промежутке. Предположим, что задача — решить уравнение $\tan(x) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ на промежутке $[-\pi, \pi]$.

1. Решим уравнение $\tan(x) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Общее решение уравнения $\tan(x) = a$ дается формулой $x = \arctan(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для $a = -\frac{1}{\sqrt{3}}$, имеем $\arctan(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{\pi}{6}$.

Следовательно, общее решение: $x = -\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. Найдем корни, принадлежащие промежутку $[-\pi, \pi]$.

Подставляем различные целочисленные значения $k$:

При $k=0$, $x = -\frac{\pi}{6}$. Этот корень входит в промежуток $[-\pi, \pi]$.

При $k=1$, $x = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6}$. Этот корень входит в промежуток $[-\pi, \pi]$.

При $k=2$, $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6} > \pi$.

При $k=-1$, $x = -\frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{7\pi}{6} < -\pi$.

Таким образом, на промежутке $[-\pi, \pi]$ уравнение имеет два корня.

Ответ: $-\frac{\pi}{6}$ или $\frac{5\pi}{6}$

в)

Аналогично пункту а), предположим, что задача состоит в решении уравнения $\cos(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ на промежутке $[-\pi, \pi]$ с дополнительным условием $x < 0$.

1. Решим уравнение $\cos(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Общее решение: $x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{5\pi}{6}$, общее решение имеет вид: $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. Найдем корни, принадлежащие промежутку $[-\pi, \pi]$.

Для серии $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$:

При $k=0$, $x = \frac{5\pi}{6}$. Корень принадлежит промежутку $[-\pi, \pi]$.

Для серии $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$:

При $k=0$, $x = -\frac{5\pi}{6}$. Корень принадлежит промежутку $[-\pi, \pi]$.

Другие значения $k$ дают корни за пределами промежутка.

Итак, на промежутке $[-\pi, \pi]$ есть два корня: $\frac{5\pi}{6}$ и $-\frac{5\pi}{6}$.

3. Применим дополнительное условие $x < 0$.

Из двух найденных корней только $x = -\frac{5\pi}{6}$ является отрицательным.

Ответ: $-\frac{5\pi}{6}$

г)

Аналогично пункту б), предположим, что задача — решить уравнение $\tan(x) = \sqrt{3}$ на промежутке $[-\pi, \pi]$.

1. Решим уравнение $\tan(x) = \sqrt{3}$.

Общее решение: $x = \arctan(\sqrt{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$, общее решение имеет вид: $x = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. Найдем корни, принадлежащие промежутку $[-\pi, \pi]$.

Подставляем различные целочисленные значения $k$:

При $k=0$, $x = \frac{\pi}{3}$. Этот корень входит в промежуток $[-\pi, \pi]$.

При $k=-1$, $x = \frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{2\pi}{3}$. Этот корень входит в промежуток $[-\pi, \pi]$.

При $k=1$, $x = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3} > \pi$.

При $k=-2$, $x = \frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{5\pi}{3} < -\pi$.

Таким образом, на промежутке $[-\pi, \pi]$ уравнение имеет два корня.

Ответ: $-\frac{2\pi}{3}$ или $\frac{\pi}{3}$