Номер 34.15, страница 199, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

34.15. a) $2 - 2i$;

б) $(-\sqrt{3} + i)^2$;

B) $-3 + 3i$;

Г) $(-3 + 3i)^2$.

Для того чтобы представить комплексное число $z = 2 - 2i$ в тригонометрической и показательной форме, необходимо найти его модуль $r$ и аргумент $\phi$.

Модуль комплексного числа $z = a + bi$ вычисляется по формуле $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$. Для $z = 2 - 2i$, где $a=2$ и $b=-2$: $r = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Аргумент $\phi$ находится из системы уравнений: $\cos\phi = \frac{a}{r} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\sin\phi = \frac{b}{r} = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ Точка $(2, -2)$ на комплексной плоскости находится в четвертой четверти, поэтому главный аргумент $\phi = -\frac{\pi}{4}$.

Тригонометрическая форма комплексного числа: $z = r(\cos\phi + i\sin\phi)$. $z = 2\sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}))$.

Показательная (экспоненциальная) форма: $z = re^{i\phi}$. $z = 2\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}$.

Ответ: Тригонометрическая форма: $2\sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}))$; Показательная форма: $2\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}$.

Сначала раскроем скобки и приведем выражение $z = (-\sqrt{3} + i)^2$ к алгебраической форме $z = a+bi$, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. $z = (-\sqrt{3})^2 + 2(-\sqrt{3})(i) + i^2 = 3 - 2\sqrt{3}i - 1 = 2 - 2\sqrt{3}i$.

Теперь для числа $z = 2 - 2\sqrt{3}i$ (где $a=2, b=-2\sqrt{3}$) найдем модуль и аргумент. $r = \sqrt{2^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 4 \cdot 3} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$.

Найдем аргумент $\phi$: $\cos\phi = \frac{a}{r} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ $\sin\phi = \frac{b}{r} = \frac{-2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ Точка $(2, -2\sqrt{3})$ находится в четвертой четверти, поэтому $\phi = -\frac{\pi}{3}$.

Тригонометрическая форма: $z = 4(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3}))$.
Показательная форма: $z = 4e^{-i\frac{\pi}{3}}$.

Ответ: Тригонометрическая форма: $4(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3}))$; Показательная форма: $4e^{-i\frac{\pi}{3}}$.

Представим комплексное число $z = -3 + 3i$ в тригонометрической и показательной форме. Для $z = -3 + 3i$, имеем $a=-3$ и $b=3$.

Найдем модуль: $r = \sqrt{(-3)^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.

Найдем аргумент $\phi$: $\cos\phi = \frac{-3}{3\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\sin\phi = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ Точка $(-3, 3)$ находится во второй четверти, поэтому $\phi = \frac{3\pi}{4}$.

Тригонометрическая форма: $z = 3\sqrt{2}(\cos(\frac{3\pi}{4}) + i\sin(\frac{3\pi}{4}))$.
Показательная форма: $z = 3\sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}$.

Ответ: Тригонометрическая форма: $3\sqrt{2}(\cos(\frac{3\pi}{4}) + i\sin(\frac{3\pi}{4}))$; Показательная форма: $3\sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}$.

Сначала упростим выражение $z = (-3 + 3i)^2$. $z = (-3)^2 + 2(-3)(3i) + (3i)^2 = 9 - 18i + 9i^2 = 9 - 18i - 9 = -18i$.

Теперь для числа $z = -18i$ (где $a=0, b=-18$) найдем модуль и аргумент. $r = \sqrt{0^2 + (-18)^2} = \sqrt{18^2} = 18$.

Найдем аргумент $\phi$: $\cos\phi = \frac{0}{18} = 0$ $\sin\phi = \frac{-18}{18} = -1$ Точка $(0, -18)$ лежит на отрицательной части мнимой оси, поэтому $\phi = -\frac{\pi}{2}$.

Тригонометрическая форма: $z = 18(\cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2}))$.
Показательная форма: $z = 18e^{-i\frac{\pi}{2}}$.

Ответ: Тригонометрическая форма: $18(\cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2}))$; Показательная форма: $18e^{-i\frac{\pi}{2}}$.