Номер 34.8, страница 198, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

34.8. Про комплексное число $z$ известно, что $\text{Re } z = 3$ или $\text{Re } z = 6$. Сколько имеется таких чисел, если, кроме того, известно, что:

а) $|z| = 3;$

б) $|z| = 4;$

в) $|z| = 6;$

г) $|z| = 10?$

Пусть комплексное число $z$ представлено в алгебраической форме: $z = x + iy$, где $x = \text{Re } z$ — действительная часть, а $y = \text{Im } z$ — мнимая часть. Модуль комплексного числа определяется как $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

По условию задачи, действительная часть числа $z$ может принимать два значения: $x = 3$ или $x = 6$. Нам нужно найти количество таких чисел $z$ для каждого из заданных значений модуля $|z|$.

Условие $|z| = R$ эквивалентно уравнению $x^2 + y^2 = R^2$. Отсюда мы можем выразить мнимую часть $y$: $y^2 = R^2 - x^2$, что дает $y = \pm\sqrt{R^2 - x^2}$. Для существования действительного решения для $y$ (и, следовательно, для существования комплексного числа $z$), подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $R^2 - x^2 \ge 0$, или $R \ge |x|$.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Дано $|z| = 3$.

1. Если $\text{Re } z = x = 3$: $y^2 = |z|^2 - x^2 = 3^2 - 3^2 = 0$. Уравнение имеет одно решение $y = 0$. Это соответствует одному комплексному числу $z = 3 + 0i = 3$.

2. Если $\text{Re } z = x = 6$: $y^2 = |z|^2 - x^2 = 3^2 - 6^2 = 9 - 36 = -27$. Так как $y^2 < 0$, действительных решений для $y$ нет.

Суммируя оба случая, получаем одно такое комплексное число.

Ответ: 1

Дано $|z| = 4$.

1. Если $\text{Re } z = x = 3$: $y^2 = 4^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7$. Уравнение имеет два решения: $y = \sqrt{7}$ и $y = -\sqrt{7}$. Это соответствует двум комплексным числам: $z_1 = 3 + i\sqrt{7}$ и $z_2 = 3 - i\sqrt{7}$.

2. Если $\text{Re } z = x = 6$: $y^2 = 4^2 - 6^2 = 16 - 36 = -20$. Действительных решений для $y$ нет.

Всего существует два таких комплексных числа.

Ответ: 2

Дано $|z| = 6$.

1. Если $\text{Re } z = x = 3$: $y^2 = 6^2 - 3^2 = 36 - 9 = 27$. Уравнение имеет два решения: $y = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ и $y = -3\sqrt{3}$. Это соответствует двум комплексным числам: $z_1 = 3 + i3\sqrt{3}$ и $z_2 = 3 - i3\sqrt{3}$.

2. Если $\text{Re } z = x = 6$: $y^2 = 6^2 - 6^2 = 36 - 36 = 0$. Уравнение имеет одно решение $y = 0$. Это соответствует одному комплексному числу $z = 6 + 0i = 6$.

Всего существует $2 + 1 = 3$ таких комплексных числа.

Ответ: 3

Дано $|z| = 10$.

1. Если $\text{Re } z = x = 3$: $y^2 = 10^2 - 3^2 = 100 - 9 = 91$. Уравнение имеет два решения: $y = \sqrt{91}$ и $y = -\sqrt{91}$. Это соответствует двум комплексным числам: $z_1 = 3 + i\sqrt{91}$ и $z_2 = 3 - i\sqrt{91}$.

2. Если $\text{Re } z = x = 6$: $y^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$. Уравнение имеет два решения: $y = \sqrt{64} = 8$ и $y = -8$. Это соответствует двум комплексным числам: $z_3 = 6 + 8i$ и $z_4 = 6 - 8i$.

Всего существует $2 + 2 = 4$ таких комплексных числа.

Ответ: 4