Номер 34.7, страница 198, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

34.7. a) $|z - i| = 1$;

б) $|z + 2i| = 2$;

В) $|z - 1 - i| = \sqrt{2}$;

Г) $|z + 4 + 3i| = 5$.

а) Данное уравнение $|z - i| = 1$ имеет вид $|z - z_0| = R$, который на комплексной плоскости описывает окружность с центром в точке $z_0$ и радиусом $R$.

В этом уравнении $z_0 = i$ и $R = 1$. Таким образом, уравнение задает окружность с центром в точке, соответствующей комплексному числу $i$ (координаты $(0, 1)$ на плоскости), и радиусом, равным $1$.

Чтобы найти уравнение в декартовых координатах, представим комплексное число $z$ в алгебраической форме $z = x + yi$. Подставим это в исходное уравнение:

$| (x + yi) - i | = 1$

$| x + (y-1)i | = 1$

Используя определение модуля комплексного числа $|a+bi| = \sqrt{a^2+b^2}$, получаем:

$\sqrt{x^2 + (y-1)^2} = 1$

Возведя обе части уравнения в квадрат, получаем каноническое уравнение окружности:

$x^2 + (y-1)^2 = 1$

Ответ: Окружность с центром в точке $(0, 1)$ и радиусом $1$.

б) Уравнение $|z + 2i| = 2$ можно переписать в стандартном виде $|z - z_0| = R$, вынеся минус за скобки: $|z - (-2i)| = 2$.

Здесь центр окружности $z_0 = -2i$ (что соответствует точке с координатами $(0, -2)$), а радиус $R = 2$.

Представим $z$ в виде $z = x + yi$:

$| (x + yi) + 2i | = 2$

$| x + (y+2)i | = 2$

По определению модуля:

$\sqrt{x^2 + (y+2)^2} = 2$

Возведя обе части в квадрат, получаем уравнение окружности в декартовых координатах:

$x^2 + (y+2)^2 = 4$

Ответ: Окружность с центром в точке $(0, -2)$ и радиусом $2$.

в) Уравнение $|z - 1 - i| = \sqrt{2}$ перепишем в виде $|z - (1 + i)| = \sqrt{2}$.

Это уравнение окружности с центром в точке $z_0 = 1 + i$ (координаты $(1, 1)$) и радиусом $R = \sqrt{2}$.

Представим $z$ в виде $z = x + yi$:

$| (x + yi) - 1 - i | = \sqrt{2}$

$| (x-1) + (y-1)i | = \sqrt{2}$

По определению модуля:

$\sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2} = \sqrt{2}$

Возведя обе части в квадрат, получаем уравнение окружности:

$(x-1)^2 + (y-1)^2 = 2$

Ответ: Окружность с центром в точке $(1, 1)$ и радиусом $\sqrt{2}$.

г) Уравнение $|z + 4 + 3i| = 5$ перепишем как $|z - (-4 - 3i)| = 5$.

Это уравнение окружности с центром в точке $z_0 = -4 - 3i$ (координаты $(-4, -3)$) и радиусом $R = 5$.

Представим $z$ в виде $z = x + yi$:

$| (x + yi) + 4 + 3i | = 5$

$| (x+4) + (y+3)i | = 5$

По определению модуля:

$\sqrt{(x+4)^2 + (y+3)^2} = 5$

Возведя обе части в квадрат, получаем уравнение окружности:

$(x+4)^2 + (y+3)^2 = 25$

Ответ: Окружность с центром в точке $(-4, -3)$ и радиусом $5$.