Номер 34.6, страница 198, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Изобразите на комплексной плоскости множество всех чисел z, удовлетворяющих заданному условию:

34.6. a) $|z| = 3;$

б) $|z - 1| = 3;$

в) $|z + 2| = 3;$

г) $|z + 3i| = 3.$

Для решения задачи представим комплексное число $z$ в алгебраической форме $z = x + iy$, где $x = \text{Re}(z)$ – действительная часть, а $y = \text{Im}(z)$ – мнимая часть. На комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(x, y)$.

Выражение $|z_1 - z_2|$ геометрически означает расстояние между точками, соответствующими комплексным числам $z_1$ и $z_2$. Уравнение вида $|z - z_0| = R$ задает окружность с центром в точке $z_0$ и радиусом $R$.

а) $|z| = 3$

Это уравнение можно записать как $|z - 0| = 3$. Оно описывает множество всех точек $z$, расстояние от которых до начала координат (числа 0) равно 3. Таким образом, это окружность с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом 3.

Алгебраически: $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Уравнение принимает вид $\sqrt{x^2 + y^2} = 3$.

Возведя обе части в квадрат, получаем $x^2 + y^2 = 3^2$ или $x^2 + y^2 = 9$. Это каноническое уравнение окружности.

Ответ: Окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом 3.

б) $|z - 1| = 3$

Это уравнение описывает множество всех точек $z$, расстояние от которых до точки, соответствующей числу $1$ (т.е. точки $(1, 0)$), равно 3. Таким образом, это окружность с центром в точке $(1, 0)$ и радиусом 3.

Алгебраически: $z - 1 = (x + iy) - 1 = (x - 1) + iy$.

Тогда $|z - 1| = \sqrt{(x - 1)^2 + y^2}$.

Уравнение принимает вид $\sqrt{(x - 1)^2 + y^2} = 3$.

Возведя обе части в квадрат, получаем $(x - 1)^2 + y^2 = 3^2$ или $(x - 1)^2 + y^2 = 9$.

Ответ: Окружность с центром в точке $(1, 0)$ и радиусом 3.

в) $|z + 2| = 3$

Перепишем уравнение как $|z - (-2)| = 3$. Оно описывает множество всех точек $z$, расстояние от которых до точки, соответствующей числу $-2$ (т.е. точки $(-2, 0)$), равно 3. Таким образом, это окружность с центром в точке $(-2, 0)$ и радиусом 3.

Алгебраически: $z + 2 = (x + iy) + 2 = (x + 2) + iy$.

Тогда $|z + 2| = \sqrt{(x + 2)^2 + y^2}$.

Уравнение принимает вид $\sqrt{(x + 2)^2 + y^2} = 3$.

Возведя обе части в квадрат, получаем $(x + 2)^2 + y^2 = 3^2$ или $(x + 2)^2 + y^2 = 9$.

Ответ: Окружность с центром в точке $(-2, 0)$ и радиусом 3.

г) $|z + 3i| = 3$

Перепишем уравнение как $|z - (-3i)| = 3$. Оно описывает множество всех точек $z$, расстояние от которых до точки, соответствующей числу $-3i$ (т.е. точки $(0, -3)$), равно 3. Таким образом, это окружность с центром в точке $(0, -3)$ и радиусом 3.

Алгебраически: $z + 3i = (x + iy) + 3i = x + i(y + 3)$.

Тогда $|z + 3i| = \sqrt{x^2 + (y + 3)^2}$.

Уравнение принимает вид $\sqrt{x^2 + (y + 3)^2} = 3$.

Возведя обе части в квадрат, получаем $x^2 + (y + 3)^2 = 3^2$ или $x^2 + (y + 3)^2 = 9$.

Ответ: Окружность с центром в точке $(0, -3)$ и радиусом 3.