Номер 34.13, страница 199, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

34.13. a) $z = \cos (13,2\pi) + i \sin (13,2\pi);$

б) $z = \cos (-12,3\pi) + i \sin (-12,3\pi);$

в) $z = \cos (17 \arccos (-1)) + i \sin (17 \arccos (-1));$

г) $z = \cos (2 \arccos (-0,5)) + i \sin (2 \arccos (-0,5)).$

а) Исходное комплексное число имеет вид $z = \cos(13,2\pi) + i \sin(13,2\pi)$.
Аргумент комплексного числа равен $\varphi = 13,2\pi$. Используем периодичность тригонометрических функций с периодом $2\pi$. $13,2\pi = 12\pi + 1,2\pi = 6 \cdot 2\pi + 1,2\pi$.
Отбрасывая полные обороты ($6 \cdot 2\pi$), получаем: $z = \cos(1,2\pi) + i \sin(1,2\pi)$.
Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $1,2\pi = \frac{12}{10}\pi = \frac{6\pi}{5}$.
Таким образом, $z = \cos(\frac{6\pi}{5}) + i \sin(\frac{6\pi}{5})$.
Для нахождения алгебраической формы используем формулы приведения. $\frac{6\pi}{5} = \pi + \frac{\pi}{5}$.
$z = \cos(\pi + \frac{\pi}{5}) + i \sin(\pi + \frac{\pi}{5}) = -\cos(\frac{\pi}{5}) - i \sin(\frac{\pi}{5})$.
Значения косинуса и синуса для угла $\frac{\pi}{5}$ (или $36^\circ$) известны: $\cos(\frac{\pi}{5}) = \frac{1+\sqrt{5}}{4}$ и $\sin(\frac{\pi}{5}) = \sqrt{\frac{1-\cos(\frac{2\pi}{5})}{2}} = \sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{5}-1}{4}}{2}} = \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$.
Подставляем эти значения: $z = - \left( \frac{1+\sqrt{5}}{4} \right) - i \left( \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4} \right)$.
Ответ: $z = -\frac{1+\sqrt{5}}{4} - i \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$.

б) Дано комплексное число $z = \cos(-12,3\pi) + i \sin(-12,3\pi)$.
Используем свойства четности косинуса ($\cos(-x) = \cos(x)$) и нечетности синуса ($\sin(-x) = -\sin(x)$): $z = \cos(12,3\pi) - i \sin(12,3\pi)$.
Упростим аргумент $12,3\pi$, используя периодичность: $12,3\pi = 12\pi + 0,3\pi = 6 \cdot 2\pi + 0,3\pi$.
$z = \cos(0,3\pi) - i \sin(0,3\pi)$.
Представим $0,3\pi$ в виде обыкновенной дроби: $0,3\pi = \frac{3\pi}{10}$. $z = \cos(\frac{3\pi}{10}) - i \sin(\frac{3\pi}{10})$.
Используем формулы приведения, заметив, что $\frac{3\pi}{10} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5}$: $\cos(\frac{3\pi}{10}) = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5}) = \sin(\frac{\pi}{5})$.
$\sin(\frac{3\pi}{10}) = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5}) = \cos(\frac{\pi}{5})$.
Тогда $z = \sin(\frac{\pi}{5}) - i \cos(\frac{\pi}{5})$.
Подставим известные значения из пункта а): $\cos(\frac{\pi}{5}) = \frac{1+\sqrt{5}}{4}$ и $\sin(\frac{\pi}{5}) = \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$.
$z = \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4} - i \frac{1+\sqrt{5}}{4}$.
Ответ: $z = \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4} - i \frac{1+\sqrt{5}}{4}$.

в) Дано комплексное число $z = \cos(17 \arccos(-1)) + i \sin(17 \arccos(-1))$.
Найдем значение $\arccos(-1)$. По определению арккосинуса, это угол из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен $-1$. Этим углом является $\pi$. $\arccos(-1) = \pi$.
Подставляем это значение в исходное выражение: $z = \cos(17\pi) + i \sin(17\pi)$.
Упростим аргумент, используя периодичность: $17\pi = 16\pi + \pi = 8 \cdot 2\pi + \pi$.
$z = \cos(\pi) + i \sin(\pi)$.
Вычисляем значения косинуса и синуса: $\cos(\pi) = -1$ и $\sin(\pi) = 0$. $z = -1 + i \cdot 0 = -1$.
Ответ: $z = -1$.

г) Дано комплексное число $z = \cos(2 \arccos(-0,5)) + i \sin(2 \arccos(-0,5))$.
Найдем значение $\arccos(-0,5) = \arccos(-\frac{1}{2})$. Это угол из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен $-\frac{1}{2}$. Мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$. Так как $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$, то искомый угол равен $\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
$\arccos(-0,5) = \frac{2\pi}{3}$.
Подставляем это значение в выражение: $z = \cos(2 \cdot \frac{2\pi}{3}) + i \sin(2 \cdot \frac{2\pi}{3}) = \cos(\frac{4\pi}{3}) + i \sin(\frac{4\pi}{3})$.
Для вычисления значений используем формулы приведения: $\frac{4\pi}{3} = \pi + \frac{\pi}{3}$. $\cos(\frac{4\pi}{3}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.
$\sin(\frac{4\pi}{3}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Таким образом, $z = -\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $z = -\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}$.