Номер 34.10, страница 198, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

34.10. Изобразите на комплексной плоскости множество всех чисел z, удовлетворяющих уравнению:

а) $ |z| = |z - 1|; $

б) $ |z - 1| = |z - 3|; $

в) $ |z - 1| = |z - i|; $

г) $ |z + 3i| = |z + 4|. $

а)

Уравнение $|z| = |z - 1|$ можно представить в виде $|z - z_1| = |z - z_2|$, где $z_1 = 0$ и $z_2 = 1$. Геометрически это уравнение задает множество точек $z$ на комплексной плоскости, которые равноудалены от двух фиксированных точек: $z_1 = 0+0i$ (начало координат) и $z_2 = 1+0i$. Таким множеством является серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти две точки. Отрезок лежит на действительной оси, а его середина находится в точке с координатой $x = \frac{0+1}{2} = \frac{1}{2}$. Следовательно, искомое множество — это вертикальная прямая.

Алгебраически, пусть $z = x + iy$. Подставим это в исходное уравнение: $|x + iy| = |(x - 1) + iy|$ Используя определение модуля комплексного числа $|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$, получаем: $\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(x - 1)^2 + y^2}$ Возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней: $x^2 + y^2 = (x - 1)^2 + y^2$ $x^2 = x^2 - 2x + 1$ $2x = 1$ $x = \frac{1}{2}$

Ответ: Множество точек представляет собой вертикальную прямую на комплексной плоскости, заданную уравнением $Re(z) = \frac{1}{2}$.

б)

Уравнение $|z - 1| = |z - 3|$ описывает множество точек $z$, равноудаленных от точек $z_1 = 1$ и $z_2 = 3$. Геометрически, это серединный перпендикуляр к отрезку на действительной оси, соединяющему точки $(1, 0)$ и $(3, 0)$. Середина этого отрезка находится в точке $x = \frac{1+3}{2} = 2$. Таким образом, искомое множество — это вертикальная прямая.

Алгебраически, пусть $z = x + iy$: $|(x - 1) + iy| = |(x - 3) + iy|$ $\sqrt{(x - 1)^2 + y^2} = \sqrt{(x - 3)^2 + y^2}$ Возводим обе части в квадрат: $(x - 1)^2 + y^2 = (x - 3)^2 + y^2$ $x^2 - 2x + 1 = x^2 - 6x + 9$ $4x = 8$ $x = 2$

Ответ: Множество точек представляет собой вертикальную прямую на комплексной плоскости, заданную уравнением $Re(z) = 2$.

в)

Уравнение $|z - 1| = |z - i|$ описывает множество точек $z$, равноудаленных от точек $z_1 = 1$ (координаты $(1, 0)$) и $z_2 = i$ (координаты $(0, 1)$). Геометрически, это серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему точки $(1, 0)$ и $(0, 1)$. Середина отрезка имеет координаты $(\frac{1+0}{2}, \frac{0+1}{2}) = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$. Угловой коэффициент отрезка равен $k_1 = \frac{1-0}{0-1} = -1$. Угловой коэффициент перпендикулярной прямой равен $k_2 = -\frac{1}{k_1} = 1$. Уравнение прямой, проходящей через точку $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ с угловым коэффициентом $1$, имеет вид $y - \frac{1}{2} = 1 \cdot (x - \frac{1}{2})$, что упрощается до $y=x$.

Алгебраически, пусть $z = x + iy$: $|(x - 1) + iy| = |x + (y - 1)i|$ $\sqrt{(x - 1)^2 + y^2} = \sqrt{x^2 + (y - 1)^2}$ Возводим обе части в квадрат: $(x - 1)^2 + y^2 = x^2 + (y - 1)^2$ $x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + y^2 - 2y + 1$ $-2x = -2y$ $x = y$

Ответ: Множество точек представляет собой прямую на комплексной плоскости, заданную уравнением $y = x$, или $Im(z) = Re(z)$.

г)

Уравнение $|z + 3i| = |z + 4|$ можно переписать как $|z - (-3i)| = |z - (-4)|$. Оно описывает множество точек $z$, равноудаленных от точек $z_1 = -3i$ (координаты $(0, -3)$) и $z_2 = -4$ (координаты $(-4, 0)$). Геометрически, это серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему точки $(0, -3)$ и $(-4, 0)$.

Алгебраически, пусть $z = x + iy$: $|x + (y + 3)i| = |(x + 4) + iy|$ $\sqrt{x^2 + (y + 3)^2} = \sqrt{(x + 4)^2 + y^2}$ Возводим обе части в квадрат: $x^2 + (y + 3)^2 = (x + 4)^2 + y^2$ $x^2 + y^2 + 6y + 9 = x^2 + 8x + 16 + y^2$ $6y + 9 = 8x + 16$ $6y = 8x + 7$ $y = \frac{8}{6}x + \frac{7}{6}$ $y = \frac{4}{3}x + \frac{7}{6}$

Ответ: Множество точек представляет собой прямую на комплексной плоскости, заданную уравнением $y = \frac{4}{3}x + \frac{7}{6}$.