Номер 34.21, страница 200, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Запишите комплексное число в стандартной тригонометрической форме:

34.21. а) $5$;

б) $3i$;

в) $-8$;

г) $-0,5i$.

Стандартная тригонометрическая форма комплексного числа $z = x + iy$ имеет вид $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$, где $r$ – модуль числа, а $\varphi$ – его аргумент.

Модуль $r$ вычисляется по формуле $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Аргумент $\varphi$ – это угол, который образует вектор, соответствующий числу $z$ на комплексной плоскости, с положительным направлением действительной оси. Он определяется из системы уравнений: $\cos \varphi = \frac{x}{r}$ и $\sin \varphi = \frac{y}{r}$.

а) Для комплексного числа $z = 5$.

Представим его в алгебраической форме: $z = 5 + 0i$. Здесь действительная часть $x=5$, а мнимая часть $y=0$.

1. Находим модуль числа: $r = \sqrt{5^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5$.

2. Находим аргумент. Поскольку точка $(5, 0)$, соответствующая числу, лежит на положительной части действительной оси, ее аргумент $\varphi = 0$.

3. Записываем число в тригонометрической форме: $z = 5(\cos 0 + i \sin 0)$.

Ответ: $5(\cos 0 + i \sin 0)$.

б) Для комплексного числа $z = 3i$.

Представим его в алгебраической форме: $z = 0 + 3i$. Здесь $x=0$, $y=3$.

1. Находим модуль числа: $r = \sqrt{0^2 + 3^2} = \sqrt{9} = 3$.

2. Находим аргумент. Поскольку точка $(0, 3)$ лежит на положительной части мнимой оси, ее аргумент $\varphi = \frac{\pi}{2}$.

3. Записываем число в тригонометрической форме: $z = 3(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2})$.

Ответ: $3(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2})$.

в) Для комплексного числа $z = -8$.

Представим его в алгебраической форме: $z = -8 + 0i$. Здесь $x=-8$, $y=0$.

1. Находим модуль числа: $r = \sqrt{(-8)^2 + 0^2} = \sqrt{64} = 8$.

2. Находим аргумент. Поскольку точка $(-8, 0)$ лежит на отрицательной части действительной оси, ее аргумент $\varphi = \pi$.

3. Записываем число в тригонометрической форме: $z = 8(\cos \pi + i \sin \pi)$.

Ответ: $8(\cos \pi + i \sin \pi)$.

г) Для комплексного числа $z = -0,5i$.

Представим его в алгебраической форме: $z = 0 - 0,5i$. Здесь $x=0$, $y=-0,5$.

1. Находим модуль числа: $r = \sqrt{0^2 + (-0,5)^2} = \sqrt{0,25} = 0,5$.

2. Находим аргумент. Поскольку точка $(0, -0,5)$ лежит на отрицательной части мнимой оси, ее аргумент $\varphi = -\frac{\pi}{2}$.

3. Записываем число в тригонометрической форме: $z = 0,5(\cos(-\frac{\pi}{2}) + i \sin(-\frac{\pi}{2}))$.

Ответ: $0,5(\cos(-\frac{\pi}{2}) + i \sin(-\frac{\pi}{2}))$.