Номер 34.28, страница 200, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

34.28. Представьте в алгебраической форме комплексное число:

а) $5\left(\cos \frac{5 \pi}{6}+i \sin \frac{5 \pi}{6}\right)$;

б) $\frac{1}{\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right)}$;

в) $5\left(\cos \frac{2 \pi}{3}+i \sin \frac{2 \pi}{3}\right)$;

г) $\frac{1}{\cos \left(-\frac{3 \pi}{4}\right)+i \sin \left(-\frac{3 \pi}{4}\right)}$.

а) Чтобы представить комплексное число $z = 5 \left( \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6} \right)$ в алгебраической форме $z = a + bi$, необходимо вычислить значения косинуса и синуса для данного угла и затем умножить их на модуль $r=5$.

Угол $\varphi = \frac{5\pi}{6}$ находится во второй координатной четверти. Вычислим значения тригонометрических функций:

$\cos \frac{5\pi}{6} = \cos \left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\cos \frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin \frac{5\pi}{6} = \sin \left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

Теперь подставим эти значения в исходное выражение для комплексного числа:

$z = 5 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} + i \cdot \frac{1}{2} \right)$

Раскрывая скобки, получаем алгебраическую форму:

$z = -\frac{5\sqrt{3}}{2} + i\frac{5}{2}$

Ответ: $-\frac{5\sqrt{3}}{2} + i\frac{5}{2}$

б) Дано комплексное число $z = \frac{1}{\cos(-\frac{\pi}{3}) + i \sin(-\frac{\pi}{3})}$.

Это число является обратным к комплексному числу, записанному в тригонометрической форме. Для комплексного числа $z_1 = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$ обратное ему число находится по формуле $\frac{1}{z_1} = \frac{1}{r}(\cos(-\varphi) + i \sin(-\varphi))$.

В нашем случае знаменатель $z_1 = \cos(-\frac{\pi}{3}) + i \sin(-\frac{\pi}{3})$ имеет модуль $r=1$ и аргумент $\varphi = -\frac{\pi}{3}$.

Тогда исходное число $z$ равно:

$z = \frac{1}{1}\left(\cos\left(-\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right) + i \sin\left(-\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)\right) = \cos\frac{\pi}{3} + i \sin\frac{\pi}{3}$

Вычислим значения косинуса и синуса для угла $\frac{\pi}{3}$:

$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставив вычисленные значения, получаем алгебраическую форму:

$z = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$

в) Чтобы представить комплексное число $z = 5 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right)$ в алгебраической форме, вычислим значения тригонометрических функций для угла $\varphi = \frac{2\pi}{3}$.

Угол $\varphi = \frac{2\pi}{3}$ находится во второй координатной четверти.

$\cos \frac{2\pi}{3} = \cos \left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\cos \frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2}$

$\sin \frac{2\pi}{3} = \sin \left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$z = 5 \left( -\frac{1}{2} + i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$

Раскроем скобки, чтобы получить алгебраическую форму:

$z = -\frac{5}{2} + i\frac{5\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $-\frac{5}{2} + i\frac{5\sqrt{3}}{2}$

г) Дано комплексное число $z = \frac{1}{\cos(-\frac{3\pi}{4}) + i \sin(-\frac{3\pi}{4})}$.

Это число, обратное комплексному числу в тригонометрической форме. Знаменатель $z_1 = \cos(-\frac{3\pi}{4}) + i \sin(-\frac{3\pi}{4})$ имеет модуль $r=1$ и аргумент $\varphi = -\frac{3\pi}{4}$.

Используя формулу для обратного числа $\frac{1}{z_1} = \frac{1}{r}(\cos(-\varphi) + i \sin(-\varphi))$, получаем:

$z = \cos\left(-\left(-\frac{3\pi}{4}\right)\right) + i \sin\left(-\left(-\frac{3\pi}{4}\right)\right) = \cos\frac{3\pi}{4} + i \sin\frac{3\pi}{4}$

Угол $\varphi = \frac{3\pi}{4}$ находится во второй координатной четверти.

$\cos \frac{3\pi}{4} = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\cos\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin \frac{3\pi}{4} = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставив значения, получаем алгебраическую форму:

$z = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$