Номер 34.29, страница 201, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

34.29. a) $6 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right) \cdot \frac{1}{3} \left( \cos \left( -\frac{\pi}{6} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) \right);$

б) $(-5 - 5i) \cdot \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right);$

в) $0,3 \left( \cos \left( -\frac{\pi}{12} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{12} \right) \right) \cdot 20 \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right);$

г) $\sqrt{3} \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right) \cdot (2 + 2\sqrt{3}i).$

а) Для умножения двух комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме $z_1 = r_1(\cos \phi_1 + i \sin \phi_1)$ и $z_2 = r_2(\cos \phi_2 + i \sin \phi_2)$, используется формула: $z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\phi_1 + \phi_2) + i \sin(\phi_1 + \phi_2))$.

В данном примере имеем $z_1 = 6(\cos\frac{2\pi}{3} + i \sin\frac{2\pi}{3})$ и $z_2 = \frac{1}{3}(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6}))$.

Модули чисел равны $r_1 = 6$ и $r_2 = \frac{1}{3}$. Аргументы равны $\phi_1 = \frac{2\pi}{3}$ и $\phi_2 = -\frac{\pi}{6}$.

Вычислим модуль произведения: $r = r_1 \cdot r_2 = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2$.

Вычислим аргумент произведения: $\phi = \phi_1 + \phi_2 = \frac{2\pi}{3} + (-\frac{\pi}{6}) = \frac{4\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$.

Таким образом, произведение в тригонометрической форме равно $2(\cos\frac{\pi}{2} + i \sin\frac{\pi}{2})$.

Для получения ответа в алгебраической форме, вычислим значения синуса и косинуса: $\cos\frac{\pi}{2} = 0$, $\sin\frac{\pi}{2} = 1$.

Подставим эти значения: $2(0 + i \cdot 1) = 2i$.

Ответ: $2i$.

б) В этом примере одно число дано в алгебраической форме $z_1 = -5 - 5i$, а другое в тригонометрической $z_2 = \cos\frac{\pi}{4} + i \sin\frac{\pi}{4}$. Для их умножения представим число $z_1$ в тригонометрической форме.

Найдем модуль $r_1$: $r_1 = \sqrt{(-5)^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.

Найдем аргумент $\phi_1$. Так как $\cos \phi_1 = \frac{-5}{5\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin \phi_1 = \frac{-5}{5\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, точка, соответствующая числу, лежит в третьей четверти. Следовательно, $\phi_1 = -\frac{3\pi}{4}$.

Итак, $z_1 = 5\sqrt{2}(\cos(-\frac{3\pi}{4}) + i \sin(-\frac{3\pi}{4}))$.

Число $z_2$ имеет модуль $r_2=1$ и аргумент $\phi_2=\frac{\pi}{4}$.

Теперь перемножим числа: $z_1 z_2 = (5\sqrt{2} \cdot 1) (\cos(-\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4}) + i \sin(-\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4})) = 5\sqrt{2}(\cos(-\frac{2\pi}{4}) + i \sin(-\frac{2\pi}{4})) = 5\sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{2}) + i \sin(-\frac{\pi}{2}))$.

Преобразуем результат в алгебраическую форму. Зная, что $\cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$, получаем:

$5\sqrt{2}(0 + i(-1)) = -5\sqrt{2}i$.

Ответ: $-5\sqrt{2}i$.

в) Оба числа даны в тригонометрической форме: $z_1 = 0,3(\cos(-\frac{\pi}{12}) + i \sin(-\frac{\pi}{12}))$ и $z_2 = 20(\cos\frac{\pi}{4} + i \sin\frac{\pi}{4})$.

Модули равны $r_1 = 0,3$ и $r_2 = 20$. Аргументы равны $\phi_1 = -\frac{\pi}{12}$ и $\phi_2 = \frac{\pi}{4}$.

Модуль произведения: $r = r_1 \cdot r_2 = 0,3 \cdot 20 = 6$.

Аргумент произведения: $\phi = \phi_1 + \phi_2 = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$.

Произведение в тригонометрической форме: $6(\cos\frac{\pi}{6} + i \sin\frac{\pi}{6})$.

Преобразуем в алгебраическую форму, используя $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$:

$6(\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}) = 3\sqrt{3} + 3i$.

Ответ: $3\sqrt{3} + 3i$.

г) Даны числа $z_1 = \sqrt{3}(\cos\frac{\pi}{6} + i \sin\frac{\pi}{6})$ и $z_2 = 2 + 2\sqrt{3}i$. Представим число $z_2$ в тригонометрической форме.

Найдем модуль $r_2$: $r_2 = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$.

Найдем аргумент $\phi_2$: $\cos \phi_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ и $\sin \phi_2 = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Точка лежит в первой четверти, значит $\phi_2 = \frac{\pi}{3}$.

Итак, $z_2 = 4(\cos\frac{\pi}{3} + i \sin\frac{\pi}{3})$.

У числа $z_1$ модуль $r_1 = \sqrt{3}$ и аргумент $\phi_1 = \frac{\pi}{6}$.

Перемножим числа: $z_1 z_2 = (\sqrt{3} \cdot 4) (\cos(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}) + i \sin(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3})) = 4\sqrt{3}(\cos(\frac{\pi+2\pi}{6}) + i \sin(\frac{\pi+2\pi}{6})) = 4\sqrt{3}(\cos\frac{3\pi}{6} + i \sin\frac{3\pi}{6}) = 4\sqrt{3}(\cos\frac{\pi}{2} + i \sin\frac{\pi}{2})$.

Преобразуем в алгебраическую форму: $\cos\frac{\pi}{2} = 0$ и $\sin\frac{\pi}{2} = 1$.

$4\sqrt{3}(0 + i \cdot 1) = 4\sqrt{3}i$.

Ответ: $4\sqrt{3}i$.