Номер 34.36, страница 202, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

34.36. a) $z = \frac{z_1}{z_2};$

б) $z = z_1^3;$

В) $z = \frac{z_1^4}{z_2^3};$

Г) $z = \frac{z_1^{31}}{z_2^{33}}.$

При решении будем исходить из того, что для данной группы задач заданы комплексные числа $z_1 = 1 - i$ и $z_2 = \sqrt{3} + i$.

а) $z = \frac{z_1}{z_2}$

Подставим значения $z_1$ и $z_2$ в выражение для $z$:

$z = \frac{1 - i}{\sqrt{3} + i}$

Для выполнения деления комплексных чисел в алгебраической форме, умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю. Сопряженное к $z_2 = \sqrt{3} + i$ есть $\overline{z_2} = \sqrt{3} - i$.

$z = \frac{(1 - i)(\sqrt{3} - i)}{(\sqrt{3} + i)(\sqrt{3} - i)}$

Выполним умножение в числителе:

$(1 - i)(\sqrt{3} - i) = 1 \cdot \sqrt{3} - 1 \cdot i - i \cdot \sqrt{3} + i^2 = \sqrt{3} - i - i\sqrt{3} - 1 = (\sqrt{3} - 1) - i(1 + \sqrt{3})$

Выполним умножение в знаменателе, используя свойство $z \cdot \overline{z} = |z|^2 = a^2+b^2$:

$(\sqrt{3} + i)(\sqrt{3} - i) = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$

Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь:

$z = \frac{(\sqrt{3} - 1) - i(1 + \sqrt{3})}{4}$

Запишем результат в стандартной алгебраической форме $z = a + bi$:

$z = \frac{\sqrt{3} - 1}{4} - i\frac{\sqrt{3} + 1}{4}$

Ответ: $z = \frac{\sqrt{3} - 1}{4} - i\frac{\sqrt{3} + 1}{4}$.

б) $z = z_1^3$

Для возведения комплексного числа в степень удобно использовать его тригонометрическую форму $z_1 = r_1(\cos\varphi_1 + i\sin\varphi_1)$ и формулу Муавра. Найдем модуль $r_1$ и аргумент $\varphi_1$ для числа $z_1 = 1 - i$.

Модуль: $r_1 = |z_1| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.

Аргумент: $\varphi_1 = \arg(z_1)$. Точка $(1, -1)$ находится в IV координатной четверти, поэтому $\varphi_1 = \arctan(\frac{-1}{1}) = -\frac{\pi}{4}$.

Тригонометрическая форма: $z_1 = \sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}))$.

По формуле Муавра $[r(\cos\varphi + i\sin\varphi)]^n = r^n(\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi))$:

$z = z_1^3 = (\sqrt{2})^3 \left(\cos\left(3 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) + i\sin\left(3 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)\right) = 2\sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\frac{3\pi}{4}\right)\right)$

Используя свойства четности косинуса ($\cos(-x)=\cos(x)$) и нечетности синуса ($\sin(-x)=-\sin(x)$), а также значения тригонометрических функций $\cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$z = 2\sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) - i\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right) = 2\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = - \frac{2\sqrt{2}\sqrt{2}}{2} - i\frac{2\sqrt{2}\sqrt{2}}{2} = -2 - 2i$

Ответ: $z = -2 - 2i$.

в) $z = \frac{z_1^4}{z_2^3}$

Для этой задачи наиболее удобно использовать показательную форму комплексных чисел $z = re^{i\varphi}$.

Для $z_1 = 1 - i$: модуль $r_1 = \sqrt{2}$, аргумент $\varphi_1 = -\frac{\pi}{4}$. Показательная форма: $z_1 = \sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}$.

Для $z_2 = \sqrt{3} + i$: модуль $r_2 = \sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2} = 2$, аргумент $\varphi_2 = \arctan(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{6}$. Показательная форма: $z_2 = 2e^{i\frac{\pi}{6}}$.

Вычислим числитель $z_1^4$:

$z_1^4 = \left(\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}\right)^4 = (\sqrt{2})^4 e^{-i\frac{4\pi}{4}} = 4e^{-i\pi} = 4(\cos(-\pi) + i\sin(-\pi)) = 4(-1 + 0i) = -4$.

Вычислим знаменатель $z_2^3$:

$z_2^3 = \left(2e^{i\frac{\pi}{6}}\right)^3 = 2^3 e^{i\frac{3\pi}{6}} = 8e^{i\frac{\pi}{2}} = 8\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) = 8(0 + 1i) = 8i$.

Теперь найдем частное:

$z = \frac{-4}{8i} = \frac{-1}{2i} = \frac{-1 \cdot i}{2i \cdot i} = \frac{-i}{2i^2} = \frac{-i}{2(-1)} = \frac{i}{2}$.

Ответ: $z = \frac{i}{2}$.

г) $z = \frac{z_1^{31}}{z_2^{33}}$

Воспользуемся показательными формами $z_1 = \sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}$ и $z_2 = 2e^{i\frac{\pi}{6}}$.

$z = \frac{\left(\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}\right)^{31}}{\left(2e^{i\frac{\pi}{6}}\right)^{33}} = \frac{(\sqrt{2})^{31} e^{-i\frac{31\pi}{4}}}{2^{33} e^{i\frac{33\pi}{6}}}$

Вычислим отдельно модуль и аргумент итогового числа $z$.

Модуль: $|z| = \frac{|\sqrt{2}|^{31}}{|2|^{33}} = \frac{2^{31/2}}{2^{33}} = 2^{31/2 - 33} = 2^{15.5 - 33} = 2^{-17.5} = 2^{-35/2}$.

Аргумент: $\arg(z) = \arg(z_1^{31}) - \arg(z_2^{33}) = 31\left(-\frac{\pi}{4}\right) - 33\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{31\pi}{4} - \frac{11\pi}{2} = -\frac{31\pi}{4} - \frac{22\pi}{4} = -\frac{53\pi}{4}$.

Приведем аргумент к главному значению (в интервале $(-\pi, \pi]$) путем прибавления целого числа оборотов $2\pi$:

$-\frac{53\pi}{4} + k \cdot 2\pi$. Так как $-\frac{53}{4} = -13.25$, для попадания в нужный интервал нужно прибавить $14\pi$ (т.е. $k=7$).

$\arg(z) = -\frac{53\pi}{4} + 14\pi = -\frac{53\pi}{4} + \frac{56\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Теперь запишем число $z$ в показательной форме и переведем в алгебраическую:

$z = 2^{-35/2} e^{i\frac{3\pi}{4}} = 2^{-35/2}\left(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4}\right)$.

Подставляем значения косинуса и синуса:

$z = 2^{-35/2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 2^{-35/2} \cdot 2^{-1/2}(-1+i) = 2^{-35/2 - 1/2}(-1+i) = 2^{-36/2}(-1+i) = 2^{-18}(-1+i)$.

$z = \frac{-1+i}{2^{18}}$.

Ответ: $z = \frac{-1+i}{2^{18}}$ (или $z = \frac{-1+i}{262144}$).