Номер 34.34, страница 202, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

34.34. a) $z = \frac{z_1}{z_2}$;

б) $z = \frac{z_2}{z_1}$;

В) $z = \frac{z_1^2}{z_2}$;

г) $z = \frac{z_1^3}{z_2^5}$.

Зная, что $z_1 = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ и $z_2 = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$, изобразите на комплексной плоскости числа $z_1, z_2, z$ и найдите аргумент указанного числа $z$:

Для решения задачи представим комплексные числа $z_1$ и $z_2$ в тригонометрической и показательной формах. Комплексное число $z = x + iy$ в показательной форме имеет вид $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) = re^{i\varphi}$, где $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ — модуль числа, а $\varphi = \arg(z)$ — его аргумент.

Найдем модуль и аргумент для $z_1 = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$:

Модуль: $|z_1| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1$.

Аргумент: $\cos\varphi_1 = \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}$, $\sin\varphi_1 = \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Этим условиям соответствует угол $\varphi_1 = \frac{\pi}{3}$.

Таким образом, $z_1 = 1 \cdot (\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}) = e^{i\frac{\pi}{3}}$. На комплексной плоскости это точка с координатами $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ в первом квадранте.

Найдем модуль и аргумент для $z_2 = -\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$:

Модуль: $|z_2| = \sqrt{(-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{1} = 1$.

Аргумент: $\cos\varphi_2 = \frac{-\sqrt{3}/2}{1} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\varphi_2 = \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}$. Этим условиям соответствует угол $\varphi_2 = \frac{5\pi}{6}$.

Таким образом, $z_2 = 1 \cdot (\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6}) = e^{i\frac{5\pi}{6}}$. На комплексной плоскости это точка с координатами $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ во втором квадранте.

Используем свойства показательной формы для вычислений: $\frac{e^{i\varphi_a}}{e^{i\varphi_b}} = e^{i(\varphi_a - \varphi_b)}$ и $(e^{i\varphi})^n = e^{in\varphi}$.

а) $z = \frac{z_1}{z_2}$

Вычислим $z$ в показательной форме:

$z = \frac{e^{i\frac{\pi}{3}}}{e^{i\frac{5\pi}{6}}} = e^{i(\frac{\pi}{3} - \frac{5\pi}{6})} = e^{i(\frac{2\pi}{6} - \frac{5\pi}{6})} = e^{i(-\frac{3\pi}{6})} = e^{-i\frac{\pi}{2}}$.

Аргумент числа $z$ равен $\arg(z) = -\frac{\pi}{2}$.

В алгебраической форме: $z = \cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2}) = 0 - i = -i$.

На комплексной плоскости:

• $z_1$ — точка $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.
• $z_2$ — точка $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$.
• $z$ — точка $(0, -1)$ на мнимой оси.

Ответ: $\arg(z) = -\frac{\pi}{2}$.

б) $z = \frac{z_2}{z_1}$

Вычислим $z$ в показательной форме:

$z = \frac{e^{i\frac{5\pi}{6}}}{e^{i\frac{\pi}{3}}} = e^{i(\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3})} = e^{i(\frac{5\pi}{6} - \frac{2\pi}{6})} = e^{i\frac{3\pi}{6}} = e^{i\frac{\pi}{2}}$.

Аргумент числа $z$ равен $\arg(z) = \frac{\pi}{2}$.

В алгебраической форме: $z = \cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2}) = 0 + i = i$.

На комплексной плоскости:

• $z_1$ — точка $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.
• $z_2$ — точка $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$.
• $z$ — точка $(0, 1)$ на мнимой оси.

Ответ: $\arg(z) = \frac{\pi}{2}$.

в) $z = \frac{z_1^2}{z_2}$

Сначала найдем $z_1^2$: $z_1^2 = (e^{i\frac{\pi}{3}})^2 = e^{i\frac{2\pi}{3}}$.

Теперь вычислим $z$:

$z = \frac{e^{i\frac{2\pi}{3}}}{e^{i\frac{5\pi}{6}}} = e^{i(\frac{2\pi}{3} - \frac{5\pi}{6})} = e^{i(\frac{4\pi}{6} - \frac{5\pi}{6})} = e^{-i\frac{\pi}{6}}$.

Аргумент числа $z$ равен $\arg(z) = -\frac{\pi}{6}$.

В алгебраической форме: $z = \cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}$.

На комплексной плоскости:

• $z_1$ — точка $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.
• $z_2$ — точка $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$.
• $z$ — точка $(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$ в четвертом квадранте.

Ответ: $\arg(z) = -\frac{\pi}{6}$.

г) $z = \frac{z_1^3}{z_2^5}$

Найдем $z_1^3$: $z_1^3 = (e^{i\frac{\pi}{3}})^3 = e^{i\pi} = -1$.

Найдем $z_2^5$: $z_2^5 = (e^{i\frac{5\pi}{6}})^5 = e^{i\frac{25\pi}{6}}$.

Аргумент $\frac{25\pi}{6}$ можно упростить, вычитая полные обороты ($2\pi$): $\frac{25\pi}{6} = \frac{24\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = 4\pi + \frac{\pi}{6}$. Таким образом, аргумент эквивалентен $\frac{\pi}{6}$. Значит, $z_2^5 = e^{i\frac{\pi}{6}}$.

Теперь вычислим $z$:

$z = \frac{e^{i\pi}}{e^{i\frac{\pi}{6}}} = e^{i(\pi - \frac{\pi}{6})} = e^{i\frac{5\pi}{6}}$.

Аргумент числа $z$ равен $\arg(z) = \frac{5\pi}{6}$.

Интересно, что $z = e^{i\frac{5\pi}{6}} = z_2$.

На комплексной плоскости:

• $z_1$ — точка $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.
• $z_2$ — точка $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$.
• $z$ — та же точка, что и $z_2$: $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$.

Ответ: $\arg(z) = \frac{5\pi}{6}$.