Номер 34.31, страница 201, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

34.31. a) Зная, что $z = i$, изобразите на комплексной плоскости числа $z$, $z^2$, $z^3$, $z^9$, $z^{99}$ и найдите их аргументы.

б) Зная, что $z = -i$, изобразите на комплексной плоскости числа $z$, $z^5$, $z^{15}$, $z^{-25}$, $z^{-1001}$ и найдите их аргументы.

a) Дано комплексное число $z = i$. Для нахождения его степеней и их аргументов удобно представить $z$ в тригонометрической форме. Модуль числа $|z| = |i| = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1$. Аргумент $\arg(z) = \frac{\pi}{2}$, так как число находится на положительной части мнимой оси. Таким образом, $z = 1 \cdot (\cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2}))$.

Для возведения в степень $n$ используем формулу Муавра: $z^n = |z|^n(\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi))$. Так как $|z|=1$, то $z^n = \cos(\frac{n\pi}{2}) + i\sin(\frac{n\pi}{2})$.

Вычислим значения для каждого числа:

• $z = i$. На комплексной плоскости это точка $(0, 1)$.
  Аргумент: $\arg(z) = \frac{\pi}{2}$.

• $z^2 = i^2 = -1$. На комплексной плоскости это точка $(-1, 0)$.
  Аргумент: $\arg(z^2) = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi$.

• $z^3 = i^3 = i^2 \cdot i = -i$. На комплексной плоскости это точка $(0, -1)$.
  Аргумент: $\arg(z^3) = 3 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$ (или $-\frac{\pi}{2}$).

• $z^9 = i^9$. Степени $i$ циклично повторяются с периодом 4 ($i^1=i, i^2=-1, i^3=-i, i^4=1$). Так как $9 = 4 \cdot 2 + 1$, то $z^9 = i^9 = i^1 = i$. На комплексной плоскости это точка $(0, 1)$.
  Аргумент: $\arg(z^9) = 9 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{9\pi}{2} = 4\pi + \frac{\pi}{2}$. Главное значение аргумента равно $\frac{\pi}{2}$.

• $z^{99} = i^{99}$. Так как $99 = 4 \cdot 24 + 3$, то $z^{99} = i^{99} = i^3 = -i$. На комплексной плоскости это точка $(0, -1)$.
  Аргумент: $\arg(z^{99}) = 99 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{99\pi}{2} = 48\pi + \frac{3\pi}{2}$. Главное значение аргумента равно $\frac{3\pi}{2}$ (или $-\frac{\pi}{2}$).

Таким образом, все эти числа на комплексной плоскости лежат на единичной окружности в точках $(0, 1)$, $(-1, 0)$ и $(0, -1)$.

Ответ: Числа на комплексной плоскости соответствуют точкам: $z=i \to (0, 1)$, $z^2=-1 \to (-1, 0)$, $z^3=-i \to (0, -1)$, $z^9=i \to (0, 1)$, $z^{99}=-i \to (0, -1)$. Их аргументы (главные значения): $\arg(z) = \frac{\pi}{2}$, $\arg(z^2) = \pi$, $\arg(z^3) = \frac{3\pi}{2}$, $\arg(z^9) = \frac{\pi}{2}$, $\arg(z^{99}) = \frac{3\pi}{2}$. В общем виде аргументы равны $\phi + 2\pi k$ для $k \in \mathbb{Z}$.

б) Дано комплексное число $z = -i$. Модуль числа $|z| = |-i| = \sqrt{0^2 + (-1)^2} = 1$. Аргумент $\arg(z) = -\frac{\pi}{2}$ (или $\frac{3\pi}{2}$), так как число находится на отрицательной части мнимой оси. Тригонометрическая форма: $z = 1 \cdot (\cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2}))$.

Используем формулу Муавра: $z^n = \cos(-\frac{n\pi}{2}) + i\sin(-\frac{n\pi}{2})$. Степени $(-i)$ также цикличны с периодом 4: $(-i)^1=-i, (-i)^2=-1, (-i)^3=i, (-i)^4=1$.

Вычислим значения для каждого числа:

• $z = -i$. На комплексной плоскости это точка $(0, -1)$.
  Аргумент: $\arg(z) = -\frac{\pi}{2}$.

• $z^5 = (-i)^5$. Так как $5 = 4 \cdot 1 + 1$, то $z^5 = (-i)^1 = -i$. На комплексной плоскости это точка $(0, -1)$.
  Аргумент: $\arg(z^5) = 5 \cdot (-\frac{\pi}{2}) = -\frac{5\pi}{2} = -2\pi - \frac{\pi}{2}$. Главное значение аргумента равно $-\frac{\pi}{2}$.

• $z^{15} = (-i)^{15}$. Так как $15 = 4 \cdot 3 + 3$, то $z^{15} = (-i)^3 = i$. На комплексной плоскости это точка $(0, 1)$.
  Аргумент: $\arg(z^{15}) = 15 \cdot (-\frac{\pi}{2}) = -\frac{15\pi}{2} = -8\pi + \frac{\pi}{2}$. Главное значение аргумента равно $\frac{\pi}{2}$.

• $z^{-25} = (-i)^{-25} = \frac{1}{(-i)^{25}}$. Так как $25 = 4 \cdot 6 + 1$, то $(-i)^{25} = (-i)^1 = -i$. Тогда $z^{-25} = \frac{1}{-i} = \frac{i}{-i^2} = \frac{i}{1} = i$. На комплексной плоскости это точка $(0, 1)$.
  Аргумент: $\arg(z^{-25}) = -25 \cdot (-\frac{\pi}{2}) = \frac{25\pi}{2} = 12\pi + \frac{\pi}{2}$. Главное значение аргумента равно $\frac{\pi}{2}$.

• $z^{-1001} = (-i)^{-1001} = \frac{1}{(-i)^{1001}}$. Так как $1001 = 4 \cdot 250 + 1$, то $(-i)^{1001} = (-i)^1 = -i$. Тогда $z^{-1001} = \frac{1}{-i} = i$. На комплексной плоскости это точка $(0, 1)$.
  Аргумент: $\arg(z^{-1001}) = -1001 \cdot (-\frac{\pi}{2}) = \frac{1001\pi}{2} = 500\pi + \frac{\pi}{2}$. Главное значение аргумента равно $\frac{\pi}{2}$.

Таким образом, все эти числа на комплексной плоскости лежат на единичной окружности всего в двух точках: $(0, -1)$ и $(0, 1)$.

Ответ: Числа на комплексной плоскости соответствуют точкам: $z=-i \to (0, -1)$, $z^5=-i \to (0, -1)$, $z^{15}=i \to (0, 1)$, $z^{-25}=i \to (0, 1)$, $z^{-1001}=i \to (0, 1)$. Их аргументы (главные значения): $\arg(z) = -\frac{\pi}{2}$, $\arg(z^5) = -\frac{\pi}{2}$, $\arg(z^{15}) = \frac{\pi}{2}$, $\arg(z^{-25}) = \frac{\pi}{2}$, $\arg(z^{-1001}) = \frac{\pi}{2}$. В общем виде аргументы равны $\phi + 2\pi k$ для $k \in \mathbb{Z}$.