Номер 34.26, страница 200, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

34.26. a) $\sin 35^\circ - i \cos 35^\circ$;

б) $\sin (-23^\circ) + i \cos (-23^\circ)$;

В) $-\sin 40^\circ + i \cos 40^\circ$;

г) $\sin (-20^\circ) - i \sin (-70^\circ)$.

Для решения данных задач необходимо привести комплексные числа к тригонометрической форме $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$, где $r$ — модуль числа, а $\varphi$ — его аргумент. Во всех представленных задачах модуль $r=1$, так как сумма квадратов действительной и мнимой частей, представляющих собой $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$, равна 1. Основная задача — найти правильный аргумент $\varphi$.

а) $\sin 35^\circ - i \cos 35^\circ$

Пусть $z = \sin 35^\circ - i \cos 35^\circ$.
Сначала найдем модуль числа: $r = |z| = \sqrt{(\sin 35^\circ)^2 + (-\cos 35^\circ)^2} = \sqrt{\sin^2 35^\circ + \cos^2 35^\circ} = \sqrt{1} = 1$.
Теперь преобразуем выражение к стандартному виду, используя формулы приведения:
$\sin \alpha = \cos(90^\circ - \alpha)$
$\cos \alpha = \sin(90^\circ - \alpha)$
Применим их для $\alpha = 35^\circ$:
$\sin 35^\circ = \cos(90^\circ - 35^\circ) = \cos 55^\circ$
$\cos 35^\circ = \sin(90^\circ - 35^\circ) = \sin 55^\circ$
Подставим эти значения в исходное выражение:
$z = \cos 55^\circ - i \sin 55^\circ$
Чтобы получить стандартную форму $ \cos \varphi + i \sin \varphi $, воспользуемся свойствами четности косинуса и нечетности синуса:
$\cos(-\alpha) = \cos \alpha$
$\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$
Таким образом, мы можем записать:
$z = \cos(-55^\circ) + i \sin(-55^\circ)$
Аргумент числа $\varphi = -55^\circ$.
Ответ: $\cos(-55^\circ) + i \sin(-55^\circ)$.

б) $\sin(-23^\circ) + i \cos(-23^\circ)$

Пусть $z = \sin(-23^\circ) + i \cos(-23^\circ)$.
Упростим выражение, используя свойства четности и нечетности тригонометрических функций:
$\sin(-23^\circ) = -\sin 23^\circ$
$\cos(-23^\circ) = \cos 23^\circ$
Получаем: $z = -\sin 23^\circ + i \cos 23^\circ$.
Модуль числа $r=1$. Используем формулы приведения:
$\sin 23^\circ = \cos(90^\circ - 23^\circ) = \cos 67^\circ$
$\cos 23^\circ = \sin(90^\circ - 23^\circ) = \sin 67^\circ$
Подставляем в выражение для $z$:
$z = -\cos 67^\circ + i \sin 67^\circ$
Действительная часть отрицательна, а мнимая положительна, что соответствует углу во второй координатной четверти. Используем формулы приведения для второй четверти:
$\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$
$\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$
В нашем случае $\alpha = 67^\circ$, поэтому:
$z = \cos(180^\circ - 67^\circ) + i \sin(180^\circ - 67^\circ) = \cos 113^\circ + i \sin 113^\circ$
Аргумент числа $\varphi = 113^\circ$.
Ответ: $\cos 113^\circ + i \sin 113^\circ$.

в) $-\sin 40^\circ + i \cos 40^\circ$

Пусть $z = -\sin 40^\circ + i \cos 40^\circ$.
Модуль числа $r=1$. Преобразуем выражение с помощью формул приведения:
$\sin 40^\circ = \cos(90^\circ - 40^\circ) = \cos 50^\circ$
$\cos 40^\circ = \sin(90^\circ - 40^\circ) = \sin 50^\circ$
Подставляем в выражение для $z$:
$z = -\cos 50^\circ + i \sin 50^\circ$
Действительная часть отрицательна, мнимая положительна, что соответствует углу во второй четверти. Применяем формулы для второй четверти с $\alpha = 50^\circ$:
$z = \cos(180^\circ - 50^\circ) + i \sin(180^\circ - 50^\circ) = \cos 130^\circ + i \sin 130^\circ$
Аргумент числа $\varphi = 130^\circ$.
Ответ: $\cos 130^\circ + i \sin 130^\circ$.

г) $\sin(-20^\circ) - i \sin(-70^\circ)$

Пусть $z = \sin(-20^\circ) - i \sin(-70^\circ)$.
Упростим выражение, используя свойство нечетности синуса $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$:
$z = -\sin 20^\circ - i(-\sin 70^\circ) = -\sin 20^\circ + i \sin 70^\circ$.
Используем формулу приведения $\sin 70^\circ = \sin(90^\circ - 20^\circ) = \cos 20^\circ$:
$z = -\sin 20^\circ + i \cos 20^\circ$
Модуль числа $r=1$. Это выражение аналогично предыдущему пункту. Преобразуем его с помощью формул приведения:
$\sin 20^\circ = \cos(90^\circ - 20^\circ) = \cos 70^\circ$
$\cos 20^\circ = \sin(90^\circ - 20^\circ) = \sin 70^\circ$
Подставляем в выражение для $z$:
$z = -\cos 70^\circ + i \sin 70^\circ$
Действительная часть отрицательна, мнимая положительна (вторая четверть). Применяем формулы для второй четверти с $\alpha = 70^\circ$:
$z = \cos(180^\circ - 70^\circ) + i \sin(180^\circ - 70^\circ) = \cos 110^\circ + i \sin 110^\circ$
Аргумент числа $\varphi = 110^\circ$.
Ответ: $\cos 110^\circ + i \sin 110^\circ$.