Номер 34.33, страница 202, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

34.83. a) $z = z_1 z_2;$

б) $z = (z_1)^2 z_2;$

В) $z = z_1 (z_2)^3;$

Г) $z = (z_1)^5 (z_2)^3.$

Для решения данных задач необходимо выполнить операции умножения и возведения в степень комплексных чисел. Поскольку конкретные значения комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ не заданы, решение будет представлено в общем виде с использованием основных формул и правил действий с комплексными числами.

Комплексные числа можно представить в двух формах:

• Алгебраическая форма: $z = a + bi$, где $a$ – действительная часть, $b$ – мнимая часть, $i$ – мнимая единица ($i^2 = -1$). Пусть $z_1 = a_1 + b_1 i$ и $z_2 = a_2 + b_2 i$.
• Тригонометрическая и показательная формы: $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi) = r e^{i\varphi}$, где $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ – модуль числа, а $\varphi = \arg(z)$ – его аргумент. Пусть $z_1 = r_1(\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1)$ и $z_2 = r_2(\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)$.

Для операций умножения и возведения в степень, особенно в высокие степени, значительно удобнее использовать тригонометрическую или показательную форму.

а) $z = z_1 z_2$

Чтобы найти произведение двух комплексных чисел, нужно перемножить их по правилам умножения многочленов (в алгебраической форме) или перемножить их модули и сложить аргументы (в тригонометрической форме).

В алгебраической форме:
$z = (a_1 + b_1 i)(a_2 + b_2 i) = a_1 a_2 + a_1 b_2 i + b_1 a_2 i + b_1 b_2 i^2 = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + (a_1 b_2 + b_1 a_2)i$.

В тригонометрической форме:
$z = r_1(\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1) \cdot r_2(\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2) = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2))$.

В показательной форме (что эквивалентно тригонометрической):
$z = (r_1 e^{i\varphi_1})(r_2 e^{i\varphi_2}) = r_1 r_2 e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)}$.

Ответ: В алгебраической форме $z = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + (a_1 b_2 + b_1 a_2)i$; в тригонометрической форме $z = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2))$.

б) $z = (z_1)^2 z_2$

Сначала необходимо возвести число $z_1$ в квадрат, а затем результат умножить на $z_2$. Для возведения в степень используется формула бинома Ньютона (в алгебраической форме) или формула Муавра (в тригонометрической форме).

Шаг 1: Возведение $z_1$ в квадрат.
В алгебраической форме: $(z_1)^2 = (a_1 + b_1 i)^2 = a_1^2 + 2a_1 b_1 i + (b_1 i)^2 = (a_1^2 - b_1^2) + (2a_1 b_1)i$.
В тригонометрической форме (формула Муавра): $(z_1)^2 = [r_1(\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1)]^2 = r_1^2 (\cos(2\varphi_1) + i \sin(2\varphi_1))$.

Шаг 2: Умножение результата на $z_2$.
В алгебраической форме: $z = ((a_1^2 - b_1^2) + (2a_1 b_1)i) (a_2 + b_2 i) = ((a_1^2 - b_1^2)a_2 - 2a_1 b_1 b_2) + i((a_1^2 - b_1^2)b_2 + 2a_1 b_1 a_2)$.
В тригонометрической форме: $z = (r_1^2 (\cos(2\varphi_1) + i \sin(2\varphi_1))) \cdot (r_2(\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)) = r_1^2 r_2 (\cos(2\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(2\varphi_1 + \varphi_2))$.

Ответ: В алгебраической форме $z = (a_1^2 a_2 - b_1^2 a_2 - 2a_1 b_1 b_2) + i(a_1^2 b_2 - b_1^2 b_2 + 2a_1 b_1 a_2)$; в тригонометрической форме $z = r_1^2 r_2 (\cos(2\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(2\varphi_1 + \varphi_2))$.

в) $z = z_1 (z_2)^3$

Здесь сначала возводим в куб число $z_2$, а затем умножаем $z_1$ на полученный результат. Формула Муавра: $[r(\cos \varphi + i \sin \varphi)]^n = r^n (\cos(n\varphi) + i \sin(n\varphi))$.

Шаг 1: Возведение $z_2$ в куб.
В алгебраической форме: $(z_2)^3 = (a_2 + b_2 i)^3 = a_2^3 + 3a_2^2(b_2 i) + 3a_2(b_2 i)^2 + (b_2 i)^3 = (a_2^3 - 3a_2 b_2^2) + (3a_2^2 b_2 - b_2^3)i$.
В тригонометрической форме: $(z_2)^3 = [r_2(\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)]^3 = r_2^3 (\cos(3\varphi_2) + i \sin(3\varphi_2))$.

Шаг 2: Умножение $z_1$ на результат.
В алгебраической форме: $z = (a_1 + b_1 i) ((a_2^3 - 3a_2 b_2^2) + (3a_2^2 b_2 - b_2^3)i)$. Раскрытие скобок приведет к громоздкому выражению, поэтому тригонометрическая форма предпочтительнее.
В тригонометрической форме: $z = (r_1(\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1)) \cdot (r_2^3 (\cos(3\varphi_2) + i \sin(3\varphi_2))) = r_1 r_2^3 (\cos(\varphi_1 + 3\varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + 3\varphi_2))$.

Ответ: В тригонометрической форме $z = r_1 r_2^3 (\cos(\varphi_1 + 3\varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + 3\varphi_2))$.

г) $z = (z_1)^5 (z_2)^3$

В этом случае необходимо возвести $z_1$ в пятую степень, $z_2$ – в третью, и затем перемножить результаты. Использование алгебраической формы крайне затруднительно из-за высоких степеней. Тригонометрическая форма значительно упрощает вычисления.

Шаг 1: Возведение в степень по формуле Муавра.
$(z_1)^5 = [r_1(\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1)]^5 = r_1^5 (\cos(5\varphi_1) + i \sin(5\varphi_1))$.
$(z_2)^3 = [r_2(\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)]^3 = r_2^3 (\cos(3\varphi_2) + i \sin(3\varphi_2))$.

Шаг 2: Умножение результатов.
$z = (r_1^5 (\cos(5\varphi_1) + i \sin(5\varphi_1))) \cdot (r_2^3 (\cos(3\varphi_2) + i \sin(3\varphi_2))) = r_1^5 r_2^3 (\cos(5\varphi_1 + 3\varphi_2) + i \sin(5\varphi_1 + 3\varphi_2))$.

В показательной форме вычисления выглядят еще компактнее:
$(z_1)^5 = (r_1 e^{i\varphi_1})^5 = r_1^5 e^{i 5\varphi_1}$.
$(z_2)^3 = (r_2 e^{i\varphi_2})^3 = r_2^3 e^{i 3\varphi_2}$.
$z = (r_1^5 e^{i 5\varphi_1}) (r_2^3 e^{i 3\varphi_2}) = r_1^5 r_2^3 e^{i(5\varphi_1 + 3\varphi_2)}$.

Ответ: В тригонометрической форме $z = r_1^5 r_2^3 (\cos(5\varphi_1 + 3\varphi_2) + i \sin(5\varphi_1 + 3\varphi_2))$.