Номер 34.38, страница 202, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

34.38. Зная, что $z_1 = 2 + i$, $z_2 = 4 + 3i$, $z_3 = -1 + 7i$, изобразите на комплексной плоскости треугольник с вершинами $zz_1$, $zz_2$, $zz_3$, если:

а) $z = i$;

б) $z = 2i$;

в) $z = -i$;

г) $z = 1 - i$.

Исходные вершины треугольника на комплексной плоскости соответствуют точкам $A(2, 1)$, $B(4, 3)$ и $C(-1, 7)$. Умножение комплексного числа на другое комплексное число $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ геометрически означает поворот на угол $\varphi$ и растяжение (гомотетию) с коэффициентом $r = |z|$ относительно начала координат. Для каждого случая найдем новые вершины треугольника $A'$, $B'$, $C'$.

а) z = i;

Умножаем на $z = i$. Модуль $|z| = |i| = 1$, аргумент $arg(z) = 90^\circ$ или $\frac{\pi}{2}$. Это преобразование является поворотом на $90^\circ$ против часовой стрелки вокруг начала координат.

Найдем новые вершины:

• $A' = z \cdot z_1 = i \cdot (2 + i) = 2i + i^2 = -1 + 2i$. Координаты точки $A'(-1, 2)$.
• $B' = z \cdot z_2 = i \cdot (4 + 3i) = 4i + 3i^2 = -3 + 4i$. Координаты точки $B'(-3, 4)$.
• $C' = z \cdot z_3 = i \cdot (-1 + 7i) = -i + 7i^2 = -7 - i$. Координаты точки $C'(-7, -1)$.

Чтобы изобразить треугольник, нужно на комплексной плоскости отметить точки $A'(-1, 2)$, $B'(-3, 4)$, $C'(-7, -1)$ и соединить их отрезками.

Ответ: Вершины треугольника находятся в точках $(-1, 2)$, $(-3, 4)$, $(-7, -1)$.

б) z = 2i;

Умножаем на $z = 2i$. Модуль $|z| = |2i| = 2$, аргумент $arg(z) = 90^\circ$ или $\frac{\pi}{2}$. Это преобразование является поворотом на $90^\circ$ против часовой стрелки и растяжением в 2 раза относительно начала координат.

Найдем новые вершины:

• $A' = z \cdot z_1 = 2i \cdot (2 + i) = 4i + 2i^2 = -2 + 4i$. Координаты точки $A'(-2, 4)$.
• $B' = z \cdot z_2 = 2i \cdot (4 + 3i) = 8i + 6i^2 = -6 + 8i$. Координаты точки $B'(-6, 8)$.
• $C' = z \cdot z_3 = 2i \cdot (-1 + 7i) = -2i + 14i^2 = -14 - 2i$. Координаты точки $C'(-14, -2)$.

Чтобы изобразить треугольник, нужно на комплексной плоскости отметить точки $A'(-2, 4)$, $B'(-6, 8)$, $C'(-14, -2)$ и соединить их отрезками.

Ответ: Вершины треугольника находятся в точках $(-2, 4)$, $(-6, 8)$, $(-14, -2)$.

в) z = -i;

Умножаем на $z = -i$. Модуль $|z| = |-i| = 1$, аргумент $arg(z) = -90^\circ$ или $-\frac{\pi}{2}$. Это преобразование является поворотом на $90^\circ$ по часовой стрелке вокруг начала координат.

Найдем новые вершины:

• $A' = z \cdot z_1 = -i \cdot (2 + i) = -2i - i^2 = 1 - 2i$. Координаты точки $A'(1, -2)$.
• $B' = z \cdot z_2 = -i \cdot (4 + 3i) = -4i - 3i^2 = 3 - 4i$. Координаты точки $B'(3, -4)$.
• $C' = z \cdot z_3 = -i \cdot (-1 + 7i) = i - 7i^2 = 7 + i$. Координаты точки $C'(7, 1)$.

Чтобы изобразить треугольник, нужно на комплексной плоскости отметить точки $A'(1, -2)$, $B'(3, -4)$, $C'(7, 1)$ и соединить их отрезками.

Ответ: Вершины треугольника находятся в точках $(1, -2)$, $(3, -4)$, $(7, 1)$.

г) z = 1 - i.

Умножаем на $z = 1 - i$. Модуль $|z| = |1 - i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$, аргумент $arg(z) = -45^\circ$ или $-\frac{\pi}{4}$. Это преобразование является поворотом на $45^\circ$ по часовой стрелке и растяжением в $\sqrt{2}$ раз относительно начала координат.

Найдем новые вершины:

• $A' = z \cdot z_1 = (1 - i) \cdot (2 + i) = 2 + i - 2i - i^2 = 2 - i - (-1) = 3 - i$. Координаты точки $A'(3, -1)$.
• $B' = z \cdot z_2 = (1 - i) \cdot (4 + 3i) = 4 + 3i - 4i - 3i^2 = 4 - i - 3(-1) = 7 - i$. Координаты точки $B'(7, -1)$.
• $C' = z \cdot z_3 = (1 - i) \cdot (-1 + 7i) = -1 + 7i + i - 7i^2 = -1 + 8i - 7(-1) = 6 + 8i$. Координаты точки $C'(6, 8)$.

Чтобы изобразить треугольник, нужно на комплексной плоскости отметить точки $A'(3, -1)$, $B'(7, -1)$, $C'(6, 8)$ и соединить их отрезками.

Ответ: Вершины треугольника находятся в точках $(3, -1)$, $(7, -1)$, $(6, 8)$.