Номер 34.35, страница 202, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

34.35. a) $z = z_1z_2$;

б) $z = (z_1)^2z_2$;

В) $z = z_1(z_2)^5$;

Г) $z = (z_1)^{11}(z_2)^{10}$.

Для решения задачи представим исходные комплексные числа в тригонометрической форме. Общий вид тригонометрической формы комплексного числа $z = x + iy$ есть $z = r(\cos\phi + i\sin\phi)$, где $r = |z| = \sqrt{x^2+y^2}$ — это модуль числа, а $\phi = \arg(z)$ — это его аргумент.

Для числа $z_1 = \sqrt{3} + i$ имеем:

Модуль: $r_1 = |\sqrt{3} + i| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Аргумент $\phi_1$ найдем из системы:

$\cos\phi_1 = \frac{x_1}{r_1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin\phi_1 = \frac{y_1}{r_1} = \frac{1}{2}$

Отсюда аргумент $\phi_1 = \frac{\pi}{6}$.

Следовательно, тригонометрическая форма числа $z_1$ это: $z_1 = 2(\cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6}))$.

Для числа $z_2 = 2 - 2i$ имеем:

Модуль: $r_2 = |2 - 2i| = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Аргумент $\phi_2$ найдем из системы:

$\cos\phi_2 = \frac{x_2}{r_2} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin\phi_2 = \frac{y_2}{r_2} = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Отсюда аргумент $\phi_2 = -\frac{\pi}{4}$ (или $\frac{7\pi}{4}$).

Следовательно, тригонометрическая форма числа $z_2$ это: $z_2 = 2\sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}))$.

При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Модуль $z$: $|z| = |z_1| \cdot |z_2| = 2 \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.

Аргумент $z$: $\arg(z) = \arg(z_1) + \arg(z_2) = \frac{\pi}{6} + (-\frac{\pi}{4}) = \frac{2\pi - 3\pi}{12} = -\frac{\pi}{12}$.

Тригонометрическая форма $z$: $z = 4\sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{12}) + i\sin(-\frac{\pi}{12}))$.

Для преобразования в алгебраическую форму найдем значения косинуса и синуса для угла $-\frac{\pi}{12}$:$\cos(-\frac{\pi}{12}) = \cos(\frac{\pi}{12}) = \cos(15^\circ) = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos45^\circ\cos30^\circ + \sin45^\circ\sin30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.$\sin(-\frac{\pi}{12}) = -\sin(\frac{\pi}{12}) = -\sin(15^\circ) = -(\sin45^\circ\cos30^\circ - \cos45^\circ\sin30^\circ) = -(\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2}) = -\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$.

$z = 4\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} + i\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\right) = \sqrt{2}(\sqrt{6}+\sqrt{2}) + i\sqrt{2}(\sqrt{2}-\sqrt{6}) = (\sqrt{12}+2) + i(2-\sqrt{12}) = (2\sqrt{3}+2) + i(2-2\sqrt{3})$.

Ответ: $z = (2+2\sqrt{3}) + i(2-2\sqrt{3})$.

Сначала возведем $z_1$ в квадрат, используя формулу Муавра $z^n = r^n(\cos(n\phi) + i\sin(n\phi))$.

$(z_1)^2 = 2^2(\cos(2 \cdot \frac{\pi}{6}) + i\sin(2 \cdot \frac{\pi}{6})) = 4(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}))$.

Теперь умножим результат на $z_2$.

Модуль $z$: $|z| = |(z_1)^2| \cdot |z_2| = 4 \cdot 2\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$.

Аргумент $z$: $\arg(z) = \arg((z_1)^2) + \arg(z_2) = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - 3\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$.

Тригонометрическая форма $z$: $z = 8\sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{12}) + i\sin(\frac{\pi}{12}))$.

Преобразуем в алгебраическую форму:$z = 8\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} + i\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right) = 2\sqrt{2}(\sqrt{6}+\sqrt{2}) + i \cdot 2\sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{2}) = (2\sqrt{12}+4) + i(2\sqrt{12}-4) = (4\sqrt{3}+4) + i(4\sqrt{3}-4)$.

Ответ: $z = (4+4\sqrt{3}) + i(4\sqrt{3}-4)$.

Сначала возведем $z_2$ в пятую степень по формуле Муавра.

$(z_2)^5 = (2\sqrt{2})^5(\cos(5 \cdot (-\frac{\pi}{4})) + i\sin(5 \cdot (-\frac{\pi}{4}))) = (2^{3/2})^5(\cos(-\frac{5\pi}{4}) + i\sin(-\frac{5\pi}{4}))$.

Модуль: $(2\sqrt{2})^5 = 2^5 (\sqrt{2})^5 = 32 \cdot 4\sqrt{2} = 128\sqrt{2}$.

Аргумент: $-\frac{5\pi}{4}$, что эквивалентно $-\frac{5\pi}{4} + 2\pi = \frac{3\pi}{4}$.

$(z_2)^5 = 128\sqrt{2}(\cos(\frac{3\pi}{4}) + i\sin(\frac{3\pi}{4}))$.

Теперь умножим $z_1$ на $(z_2)^5$.

Модуль $z$: $|z| = |z_1| \cdot |(z_2)^5| = 2 \cdot 128\sqrt{2} = 256\sqrt{2}$.

Аргумент $z$: $\arg(z) = \arg(z_1) + \arg((z_2)^5) = \frac{\pi}{6} + \frac{3\pi}{4} = \frac{2\pi+9\pi}{12} = \frac{11\pi}{12}$.

Тригонометрическая форма $z$: $z = 256\sqrt{2}(\cos(\frac{11\pi}{12}) + i\sin(\frac{11\pi}{12}))$.

Преобразуем в алгебраическую форму, зная, что $\frac{11\pi}{12} = \pi - \frac{\pi}{12}$:$\cos(\frac{11\pi}{12}) = -\cos(\frac{\pi}{12}) = -\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.$\sin(\frac{11\pi}{12}) = \sin(\frac{\pi}{12}) = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.

$z = 256\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} + i\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right) = 64\sqrt{2}(-(\sqrt{6}+\sqrt{2}) + i(\sqrt{6}-\sqrt{2})) = 64(-\sqrt{12}-2 + i(\sqrt{12}-2)) = 64(-2\sqrt{3}-2 + i(2\sqrt{3}-2)) = -128(\sqrt{3}+1) + 128i(\sqrt{3}-1)$.

Ответ: $z = -128(1+\sqrt{3}) + i \cdot 128(\sqrt{3}-1)$.

Возводим $z_1$ в 11-ю степень и $z_2$ в 10-ю степень.

$(z_1)^{11} = 2^{11}(\cos(\frac{11\pi}{6}) + i\sin(\frac{11\pi}{6}))$. Модуль $2^{11} = 2048$.

$(z_2)^{10} = (2\sqrt{2})^{10}(\cos(10 \cdot (-\frac{\pi}{4})) + i\sin(10 \cdot (-\frac{\pi}{4}))) = (2^{3/2})^{10}(\cos(-\frac{5\pi}{2}) + i\sin(-\frac{5\pi}{2}))$.Модуль $(2\sqrt{2})^{10} = 2^{10}(\sqrt{2})^{10} = 2^{10} \cdot 2^5 = 2^{15} = 32768$. Аргумент $-\frac{5\pi}{2}$, что эквивалентно $-\frac{\pi}{2}$.

Теперь перемножим результаты.

Модуль $z$: $|z| = |(z_1)^{11}| \cdot |(z_2)^{10}| = 2^{11} \cdot 2^{15} = 2^{26}$.

Аргумент $z$: $\arg(z) = \arg((z_1)^{11}) + \arg((z_2)^{10}) = \frac{11\pi}{6} - \frac{5\pi}{2} = \frac{11\pi - 15\pi}{6} = -\frac{4\pi}{6} = -\frac{2\pi}{3}$.

Тригонометрическая форма $z$: $z = 2^{26}(\cos(-\frac{2\pi}{3}) + i\sin(-\frac{2\pi}{3}))$.

Преобразуем в алгебраическую форму:$\cos(-\frac{2\pi}{3}) = \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.$\sin(-\frac{2\pi}{3}) = -\sin(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$z = 2^{26}(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -2^{25}(1 + i\sqrt{3})$.

Ответ: $z = -2^{25}(1 + i\sqrt{3})$.