Номер 35.3, страница 203, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

35.3. Найдите все действительные значения параметра $a$, при которых уравнение $ax^2 + 8x + 16 = 0$:

а) имеет только один корень;

б) имеет действительный положительный корень;

в) имеет два действительных корня разных знаков;

г) имеет два действительных корня, сумма квадратов ко- торых равна 1.

Рассмотрим данное уравнение $ax^2 + 8x + 16 = 0$.

а) имеет только один корень

Уравнение имеет только один корень в двух случаях:

1. Если уравнение является линейным, то есть коэффициент при $x^2$ равен нулю.При $a = 0$ уравнение принимает вид $8x + 16 = 0$. Оно имеет единственный корень $x = -2$. Следовательно, $a=0$ является решением.

2. Если уравнение является квадратным ($a \neq 0$) и его дискриминант равен нулю.Найдем дискриминант: $D = 8^2 - 4 \cdot a \cdot 16 = 64 - 64a = 64(1-a)$.Приравняем дискриминант к нулю: $D = 64(1-a) = 0$. Отсюда получаем $1-a = 0$, то есть $a=1$.При $a=1$ уравнение имеет один корень (кратный корень).Объединяя оба случая, получаем, что уравнение имеет ровно один корень при $a=0$ и $a=1$.
Ответ: $a=0; a=1$.

б) имеет действительный положительный корень

Сначала рассмотрим случай $a=0$. Уравнение имеет вид $8x + 16 = 0$, корень $x=-2$. Этот корень не является положительным.

Теперь рассмотрим случай $a \neq 0$. Уравнение является квадратным. Для существования действительных корней необходимо, чтобы дискриминант $D = 64(1-a)$ был неотрицательным, то есть $D \geq 0$, что эквивалентно $a \leq 1$.Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения. По теореме Виета, их сумма $x_1 + x_2 = -\frac{8}{a}$ и произведение $x_1 \cdot x_2 = \frac{16}{a}$.

Хотя бы один корень положителен, если неверно, что оба корня неположительны ($x_1 \leq 0$ и $x_2 \leq 0$).Условиями того, что оба корня неположительны, являются:$\begin{cases} D \geq 0 \\ x_1 + x_2 \leq 0 \\ x_1 \cdot x_2 \geq 0 \end{cases}$$\begin{cases} a \leq 1 \\ -\frac{8}{a} \leq 0 \\ \frac{16}{a} \geq 0 \end{cases}$Из второго и третьего неравенств следует, что $a > 0$. С учетом первого неравенства ($a \leq 1$), получаем, что оба корня неположительны при $a \in (0, 1]$.

Действительные корни существуют при $a \in (-\infty, 0) \cup (0, 1]$. Чтобы найти значения $a$, при которых есть хотя бы один положительный корень, нужно из этого множества исключить промежуток, где оба корня неположительны, то есть $(0, 1]$.В результате остается промежуток $a \in (-\infty, 0)$.Действительно, если $a < 0$, то произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{16}{a} < 0$, что означает, что корни имеют разные знаки, и один из них обязательно положительный.
Ответ: $a \in (-\infty, 0)$.

в) имеет два действительных корня разных знаков

Уравнение имеет два действительных корня, если оно является квадратным ($a \neq 0$) и его дискриминант $D > 0$. Условие $D = 64(1-a) > 0$ выполняется при $a < 1$.Корни имеют разные знаки тогда и только тогда, когда их произведение отрицательно. По теореме Виета, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{16}{a}$.Условие $x_1 \cdot x_2 < 0$ означает, что $\frac{16}{a} < 0$, что выполняется при $a < 0$.Если $a < 0$, то условие $a < 1$ выполняется автоматически, а значит и $D > 0$.Следовательно, требуемые значения параметра $a$ — это все $a < 0$.
Ответ: $a \in (-\infty, 0)$.

г) имеет два действительных корня, сумма квадратов которых равна 1

Для того чтобы уравнение имело два действительных корня, необходимо, чтобы $a \neq 0$ и $D > 0$, то есть $a < 1$.Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения. По условию, $x_1^2 + x_2^2 = 1$.Используя теорему Виета, преобразуем это условие:$x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = 1$.$x_1+x_2 = -\frac{8}{a}$ и $x_1x_2 = \frac{16}{a}$.Подставляем в преобразованное условие:$(-\frac{8}{a})^2 - 2 \cdot (\frac{16}{a}) = 1$$\frac{64}{a^2} - \frac{32}{a} = 1$.Умножим обе части уравнения на $a^2$ (поскольку $a \neq 0$):$64 - 32a = a^2$$a^2 + 32a - 64 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение относительно $a$:$D_a = 32^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-64) = 1024 + 256 = 1280$.$\sqrt{D_a} = \sqrt{1280} = \sqrt{256 \cdot 5} = 16\sqrt{5}$.Корни уравнения для $a$:$a = \frac{-32 \pm 16\sqrt{5}}{2} = -16 \pm 8\sqrt{5}$.Получили два возможных значения: $a_1 = -16 - 8\sqrt{5}$ и $a_2 = -16 + 8\sqrt{5}$.

Теперь проверим, удовлетворяют ли эти значения условию существования двух корней, то есть $a < 1$.1. Значение $a_1 = -16 - 8\sqrt{5}$ является отрицательным, так как это сумма двух отрицательных чисел. Следовательно, $a_1 < 1$, и это значение является решением.2. Сравним значение $a_2 = -16 + 8\sqrt{5}$ с 1:$-16 + 8\sqrt{5} \vee 1 \implies 8\sqrt{5} \vee 17$.Так как обе части положительны, возведем их в квадрат: $(8\sqrt{5})^2 \vee 17^2 \implies 64 \cdot 5 \vee 289 \implies 320 \vee 289$.Поскольку $320 > 289$, то $-16 + 8\sqrt{5} > 1$. При этом значении $a$ дискриминант $D$ исходного уравнения будет отрицательным, и оно не будет иметь действительных корней.Таким образом, подходит только одно значение.
Ответ: $a = -16 - 8\sqrt{5}$.