Номер 35.7, страница 204, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

35.7. a) $z^2 - 2z + 2 = 0;$

б) $z^2 + 4z + 5 = 0;$

в) $z^2 - 6z + 25 = 0;$

г) $z^2 + 10z + 61 = 0.$

а) $z^2 - 2z + 2 = 0$

Это квадратное уравнение вида $az^2 + bz + c = 0$ с коэффициентами $a=1$, $b=-2$, $c=2$. Для нахождения корней воспользуемся формулой через дискриминант.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.

Поскольку дискриминант отрицательный, корни уравнения являются комплексно-сопряженными. Найдем их по формуле $z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. Учитывая, что мнимая единица $i = \sqrt{-1}$, получаем $\sqrt{-4} = \sqrt{4 \cdot (-1)} = 2i$.

$z = \frac{-(-2) \pm 2i}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 2i}{2} = 1 \pm i$.

Ответ: $z_1 = 1+i, z_2 = 1-i$.

б) $z^2 + 4z + 5 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=4$, $c=5$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.

Так как $D < 0$, корни уравнения комплексные. Найдем их по формуле $z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. Поскольку $\sqrt{-4} = 2i$:

$z = \frac{-4 \pm 2i}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 2i}{2} = -2 \pm i$.

Ответ: $z_1 = -2+i, z_2 = -2-i$.

в) $z^2 - 6z + 25 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=-6$, $c=25$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 36 - 100 = -64$.

Так как $D < 0$, корни уравнения комплексные. Найдем их по формуле $z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. Поскольку $\sqrt{-64} = 8i$:

$z = \frac{-(-6) \pm 8i}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 8i}{2} = 3 \pm 4i$.

Ответ: $z_1 = 3+4i, z_2 = 3-4i$.

г) $z^2 + 10z + 61 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=10$, $c=61$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 61 = 100 - 244 = -144$.

Так как $D < 0$, корни уравнения комплексные. Найдем их по формуле $z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. Поскольку $\sqrt{-144} = 12i$:

$z = \frac{-10 \pm 12i}{2 \cdot 1} = \frac{-10 \pm 12i}{2} = -5 \pm 6i$.

Ответ: $z_1 = -5+6i, z_2 = -5-6i$.