Страница 204, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа:

35.5. a) $i$ и $-i$;

б) $7 + 2i$ и $7 - 2i$;

в) $7i$ и $-7i$;

г) $1 + i$ и $1 - i$.

Для составления квадратного уравнения вида $z^2 + pz + q = 0$ по его известным корням $z_1$ и $z_2$ воспользуемся теоремой Виета. Согласно этой теореме, коэффициенты приведенного квадратного уравнения связаны с его корнями следующими соотношениями:

$p = -(z_1 + z_2)$

$q = z_1 \cdot z_2$

Таким образом, искомое квадратное уравнение можно записать в виде:

$z^2 - (z_1 + z_2)z + (z_1 \cdot z_2) = 0$

Применим эту формулу для каждого из пунктов задачи.

а) Даны корни $z_1 = i$ и $z_2 = -i$.

1. Найдем сумму корней:

$z_1 + z_2 = i + (-i) = 0$

2. Найдем произведение корней, учитывая, что $i^2 = -1$:

$z_1 \cdot z_2 = i \cdot (-i) = -i^2 = -(-1) = 1$

3. Подставим найденные значения суммы и произведения в общую формулу уравнения:

$z^2 - (0) \cdot z + 1 = 0$

В результате получаем уравнение:

$z^2 + 1 = 0$

Ответ: $z^2 + 1 = 0$

б) Даны корни $z_1 = 7 + 2i$ и $z_2 = 7 - 2i$.

1. Найдем сумму корней:

$z_1 + z_2 = (7 + 2i) + (7 - 2i) = 7 + 7 + 2i - 2i = 14$

2. Найдем произведение корней. Это произведение сопряженных комплексных чисел, которое вычисляется по формуле $(a+bi)(a-bi) = a^2 + b^2$:

$z_1 \cdot z_2 = (7 + 2i)(7 - 2i) = 7^2 - (2i)^2 = 49 - 4i^2 = 49 - 4(-1) = 49 + 4 = 53$

3. Подставим найденные значения в общую формулу уравнения:

$z^2 - 14z + 53 = 0$

Ответ: $z^2 - 14z + 53 = 0$

в) Даны корни $z_1 = 7i$ и $z_2 = -7i$.

1. Найдем сумму корней:

$z_1 + z_2 = 7i + (-7i) = 0$

2. Найдем произведение корней:

$z_1 \cdot z_2 = (7i)(-7i) = -49i^2 = -49(-1) = 49$

3. Подставим найденные значения в общую формулу уравнения:

$z^2 - (0) \cdot z + 49 = 0$

В результате получаем уравнение:

$z^2 + 49 = 0$

Ответ: $z^2 + 49 = 0$

г) Даны корни $z_1 = 1 + i$ и $z_2 = 1 - i$.

1. Найдем сумму корней:

$z_1 + z_2 = (1 + i) + (1 - i) = 1 + 1 + i - i = 2$

2. Найдем произведение корней:

$z_1 \cdot z_2 = (1 + i)(1 - i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$

3. Подставим найденные значения в общую формулу уравнения:

$z^2 - 2z + 2 = 0$

Ответ: $z^2 - 2z + 2 = 0$

35.6. a) $2i$ и $\frac{2}{i}$;

б) $1 + 3i$ и $\frac{10}{1 + 3i}$;

В) $-2^{-3i}$ и $\frac{i}{8}$;

Г) $(2^9 + 2^7 + 2^3)i$ и $(3^4 - 3^6)i$.

а)

Рассмотрим пару комплексных чисел $2i$ и $\frac{2}{i}$. Для того чтобы сравнить эти числа, необходимо привести второе число к стандартному алгебраическому виду $a+bi$.

Упростим выражение $\frac{2}{i}$, умножив числитель и знаменатель на мнимую единицу $i$:

$\frac{2}{i} = \frac{2 \cdot i}{i \cdot i} = \frac{2i}{i^2}$

Так как по определению $i^2 = -1$, то:

$\frac{2i}{-1} = -2i$

Теперь сравним первое число $2i$ со вторым, которое равно $-2i$. Очевидно, что $2i \neq -2i$. Эти числа являются противоположными, так как их сумма равна нулю ($2i + (-2i) = 0$).

Ответ: Числа не равны. Число $\frac{2}{i}$ является противоположным числу $2i$.

б)

Рассмотрим пару чисел $1 + 3i$ и $\frac{10}{1 + 3i}$. Упростим второе число.

Для того чтобы избавиться от мнимой единицы в знаменателе дроби $\frac{10}{1 + 3i}$, умножим числитель и знаменатель на число, комплексно-сопряженное знаменателю, то есть на $1 - 3i$:

$\frac{10}{1 + 3i} = \frac{10(1 - 3i)}{(1 + 3i)(1 - 3i)}$

В знаменателе воспользуемся формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(1 + 3i)(1 - 3i) = 1^2 - (3i)^2 = 1 - 9i^2 = 1 - 9(-1) = 1 + 9 = 10$

Подставим результат в исходное выражение:

$\frac{10(1 - 3i)}{10} = 1 - 3i$

Теперь сравним первое число $1 + 3i$ со вторым $1 - 3i$. Эти числа не равны. У них одинаковые действительные части (1) и противоположные по знаку мнимые части (3 и -3). Такие числа называются комплексно-сопряженными.

Ответ: Числа не равны. Число $\frac{10}{1 + 3i}$ является комплексно-сопряженным числу $1 + 3i$.

в)

Рассмотрим пару чисел $z_1 = -2^{-3i}$ и $z_2 = \frac{i}{8}$.

Для анализа первого числа $z_1$ воспользуемся определением комплексной степени $a^z = e^{z \ln a}$.

$z_1 = -2^{-3i} = -e^{-3i \ln 2}$

Самый простой способ сравнить два комплексных числа — это сравнить их модули. Модуль комплексного числа $z = x+iy$ вычисляется как $|z| = \sqrt{x^2+y^2}$.

Найдем модуль первого числа:

$|z_1| = |-e^{-3i \ln 2}| = |-1| \cdot |e^{-i(3 \ln 2)}| = 1 \cdot 1 = 1$, так как модуль числа вида $e^{i\theta}$ для действительного $\theta$ всегда равен 1.

Найдем модуль второго числа:

$|z_2| = |\frac{i}{8}| = |0 + \frac{1}{8}i| = \sqrt{0^2 + (\frac{1}{8})^2} = \sqrt{\frac{1}{64}} = \frac{1}{8}$

Поскольку $|z_1| = 1$, а $|z_2| = \frac{1}{8}$, их модули не равны. Следовательно, сами комплексные числа также не равны.

Ответ: Числа не равны.

г)

Рассмотрим пару чисел $(2^9 + 2^7 + 2^3)i$ и $(3^4 - 3^6)i$. Вычислим коэффициенты при мнимой единице $i$ для каждого числа.

Для первого числа:

$2^9 + 2^7 + 2^3 = 512 + 128 + 8 = 648$

Таким образом, первое число равно $648i$.

Для второго числа:

$3^4 - 3^6 = 81 - 729 = -648$

Таким образом, второе число равно $-648i$.

Сравним числа $648i$ и $-648i$. Очевидно, что они не равны. Как и в пункте а), эти числа являются чисто мнимыми и противоположными друг другу, так как их сумма равна нулю.

Ответ: Числа не равны. Число $(3^4 - 3^6)i$ является противоположным числу $(2^9 + 2^7 + 2^3)i$.

Решите уравнение:

35.7. a) $z^2 - 2z + 2 = 0;$

б) $z^2 + 4z + 5 = 0;$

в) $z^2 - 6z + 25 = 0;$

г) $z^2 + 10z + 61 = 0.$

а) $z^2 - 2z + 2 = 0$

Это квадратное уравнение вида $az^2 + bz + c = 0$ с коэффициентами $a=1$, $b=-2$, $c=2$. Для нахождения корней воспользуемся формулой через дискриминант.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.

Поскольку дискриминант отрицательный, корни уравнения являются комплексно-сопряженными. Найдем их по формуле $z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. Учитывая, что мнимая единица $i = \sqrt{-1}$, получаем $\sqrt{-4} = \sqrt{4 \cdot (-1)} = 2i$.

$z = \frac{-(-2) \pm 2i}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 2i}{2} = 1 \pm i$.

Ответ: $z_1 = 1+i, z_2 = 1-i$.

б) $z^2 + 4z + 5 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=4$, $c=5$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.

Так как $D < 0$, корни уравнения комплексные. Найдем их по формуле $z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. Поскольку $\sqrt{-4} = 2i$:

$z = \frac{-4 \pm 2i}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 2i}{2} = -2 \pm i$.

Ответ: $z_1 = -2+i, z_2 = -2-i$.

в) $z^2 - 6z + 25 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=-6$, $c=25$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 36 - 100 = -64$.

Так как $D < 0$, корни уравнения комплексные. Найдем их по формуле $z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. Поскольку $\sqrt{-64} = 8i$:

$z = \frac{-(-6) \pm 8i}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 8i}{2} = 3 \pm 4i$.

Ответ: $z_1 = 3+4i, z_2 = 3-4i$.

г) $z^2 + 10z + 61 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=10$, $c=61$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 61 = 100 - 244 = -144$.

Так как $D < 0$, корни уравнения комплексные. Найдем их по формуле $z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. Поскольку $\sqrt{-144} = 12i$:

$z = \frac{-10 \pm 12i}{2 \cdot 1} = \frac{-10 \pm 12i}{2} = -5 \pm 6i$.

Ответ: $z_1 = -5+6i, z_2 = -5-6i$.

35.8. a) $z^2 - z + 2,5 = 0;$

б) $z^2 + 3z + 8,5 = 0;$

В) $z^2 - 5z + 6,5 = 0;$

Г) $z^2 + 11z + 36,5 = 0.$

а) $z^2 - z + 2,5 = 0$

Для решения данного квадратного уравнения воспользуемся стандартной формулой для нахождения корней $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

В данном уравнении коэффициенты равны: $a = 1$, $b = -1$, $c = 2,5$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2,5 = 1 - 10 = -9$

Так как дискриминант отрицательный, корни уравнения будут комплексными. Корень из дискриминанта равен $\sqrt{D} = \sqrt{-9} = \sqrt{9 \cdot (-1)} = 3i$, где $i$ — мнимая единица ($i^2 = -1$).

Подставим значения в формулу для корней:

$z_{1,2} = \frac{-(-1) \pm 3i}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 3i}{2}$

Таким образом, получаем два корня:

$z_1 = \frac{1}{2} + \frac{3}{2}i = 0,5 + 1,5i$

$z_2 = \frac{1}{2} - \frac{3}{2}i = 0,5 - 1,5i$

Ответ: $z_1 = 0,5 + 1,5i$, $z_2 = 0,5 - 1,5i$.

б) $z^2 + 3z + 8,5 = 0$

Решаем квадратное уравнение с коэффициентами $a = 1$, $b = 3$, $c = 8,5$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8,5 = 9 - 34 = -25$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{-25} = \sqrt{25 \cdot (-1)} = 5i$.

Найдем корни уравнения по формуле $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$z_{1,2} = \frac{-3 \pm 5i}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm 5i}{2}$

Корни уравнения:

$z_1 = -\frac{3}{2} + \frac{5}{2}i = -1,5 + 2,5i$

$z_2 = -\frac{3}{2} - \frac{5}{2}i = -1,5 - 2,5i$

Ответ: $z_1 = -1,5 + 2,5i$, $z_2 = -1,5 - 2,5i$.

в) $z^2 - 5z + 6,5 = 0$

Решаем квадратное уравнение с коэффициентами $a = 1$, $b = -5$, $c = 6,5$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6,5 = 25 - 26 = -1$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{-1} = i$.

Найдем корни уравнения по формуле $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$z_{1,2} = \frac{-(-5) \pm i}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm i}{2}$

Корни уравнения:

$z_1 = \frac{5}{2} + \frac{1}{2}i = 2,5 + 0,5i$

$z_2 = \frac{5}{2} - \frac{1}{2}i = 2,5 - 0,5i$

Ответ: $z_1 = 2,5 + 0,5i$, $z_2 = 2,5 - 0,5i$.

г) $z^2 + 11z + 36,5 = 0$

Решаем квадратное уравнение с коэффициентами $a = 1$, $b = 11$, $c = 36,5$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36,5 = 121 - 146 = -25$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{-25} = \sqrt{25 \cdot (-1)} = 5i$.

Найдем корни уравнения по формуле $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$z_{1,2} = \frac{-11 \pm 5i}{2 \cdot 1} = \frac{-11 \pm 5i}{2}$

Корни уравнения:

$z_1 = -\frac{11}{2} + \frac{5}{2}i = -5,5 + 2,5i$

$z_2 = -\frac{11}{2} - \frac{5}{2}i = -5,5 - 2,5i$

Ответ: $z_1 = -5,5 + 2,5i$, $z_2 = -5,5 - 2,5i$.

35.9. При каких значениях параметра a:

а) уравнение $z^2 - 2z + a = 0$ имеет корень $1 + i$;

б) уравнение $z^2 + 6z + a = 0$ имеет корень $i - 3$;

в) уравнение $z^2 - 8z + (a^2 + 9) = 0$ имеет корень $4 - 3i$;

г) уравнение $z^2 + 10z + (a^2 + 4a + 5) = 0$ имеет корень $-5 + i$?

а)

Для того чтобы уравнение $z^2 - 2z + a = 0$ имело корень $z = 1 + i$, необходимо, чтобы это комплексное число было решением уравнения. Подставим $z = 1 + i$ в уравнение:

$(1 + i)^2 - 2(1 + i) + a = 0$

Раскроем скобки и выполним алгебраические преобразования, учитывая, что $i^2 = -1$:

$(1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2) - 2 - 2i + a = 0$

$(1 + 2i - 1) - 2 - 2i + a = 0$

$2i - 2 - 2i + a = 0$

После приведения подобных членов получаем:

$-2 + a = 0$

Отсюда находим значение параметра $a$:

$a = 2$

Ответ: $a = 2$.

б)

Аналогично предыдущему пункту, подставим корень $z = i - 3$ (что то же самое, что $z = -3 + i$) в уравнение $z^2 + 6z + a = 0$:

$(-3 + i)^2 + 6(-3 + i) + a = 0$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$((-3)^2 + 2(-3)i + i^2) + ( -18 + 6i) + a = 0$

$(9 - 6i - 1) - 18 + 6i + a = 0$

$8 - 6i - 18 + 6i + a = 0$

Сократим мнимые части и приведем подобные слагаемые:

$-10 + a = 0$

Отсюда находим $a$:

$a = 10$

Ответ: $a = 10$.

в)

Подставим корень $z = 4 - 3i$ в уравнение $z^2 - 8z + (a^2 + 9) = 0$:

$(4 - 3i)^2 - 8(4 - 3i) + (a^2 + 9) = 0$

Выполним вычисления:

$(4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3i + (3i)^2) - (32 - 24i) + a^2 + 9 = 0$

$(16 - 24i + 9i^2) - 32 + 24i + a^2 + 9 = 0$

$(16 - 24i - 9) - 32 + 24i + a^2 + 9 = 0$

$7 - 24i - 32 + 24i + a^2 + 9 = 0$

Соберем действительные и мнимые части:

$(7 - 32 + 9 + a^2) + (-24i + 24i) = 0$

$a^2 - 16 = 0$

Решим полученное уравнение относительно $a$:

$a^2 = 16$

$a = \pm\sqrt{16}$

Таким образом, получаем два значения: $a_1 = 4$ и $a_2 = -4$.

Ответ: $a = 4, a = -4$.

г)

Подставим корень $z = -5 + i$ в уравнение $z^2 + 10z + (a^2 + 4a + 5) = 0$:

$(-5 + i)^2 + 10(-5 + i) + (a^2 + 4a + 5) = 0$

Раскроем скобки и упростим:

$((-5)^2 + 2(-5)i + i^2) + (-50 + 10i) + a^2 + 4a + 5 = 0$

$(25 - 10i - 1) - 50 + 10i + a^2 + 4a + 5 = 0$

$24 - 10i - 50 + 10i + a^2 + 4a + 5 = 0$

Сгруппируем члены:

$(24 - 50 + 5 + a^2 + 4a) + (-10i + 10i) = 0$

$a^2 + 4a - 21 = 0$

Мы получили квадратное уравнение для параметра $a$. Решим его с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(1)(-21) = 16 + 84 = 100$

$a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{-4 \pm 10}{2}$

Находим два корня:

$a_1 = \frac{-4 + 10}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$a_2 = \frac{-4 - 10}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Ответ: $a = 3, a = -7$.

35.10. При каких значениях параметра a:

а) уравнение $z^2 + az + 5 = 0$ имеет корень $2 + i$;

б) уравнение $z^2 + az + 13 = 0$ имеет корень $-2 - 3i$;

в) уравнение $z^2 + (1 - a^2)z + 25 = 0$ имеет корень $4 + 3i$;

г) уравнение $z^2 + (a^2 + 2a + 2)z + 41 = 0$ имеет корень $-5 + 4i$?

Чтобы найти значение параметра $a$, при котором уравнение $z^2 + az + 5 = 0$ имеет корень $z = 2 + i$, подставим это значение в уравнение.

$(2 + i)^2 + a(2 + i) + 5 = 0$

Сначала вычислим квадрат комплексного числа: $(2 + i)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot i + i^2 = 4 + 4i - 1 = 3 + 4i$.

Теперь подставим полученный результат обратно в уравнение:

$(3 + 4i) + a(2 + i) + 5 = 0$

Сгруппируем известные члены:

$8 + 4i + a(2 + i) = 0$

Выразим слагаемое, содержащее $a$:

$a(2 + i) = -8 - 4i$

Теперь найдем $a$, разделив правую часть на $(2 + i)$:

$a = \frac{-8 - 4i}{2 + i}$

В числителе можно вынести общий множитель $-4$:

$a = \frac{-4(2 + i)}{2 + i} = -4$

Ответ: $a = -4$.

Подставим корень $z = -2 - 3i$ в уравнение $z^2 + az + 13 = 0$.

$(-2 - 3i)^2 + a(-2 - 3i) + 13 = 0$

Вычислим квадрат: $(-2 - 3i)^2 = ((-1)(2 + 3i))^2 = (2 + 3i)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot 3i + (3i)^2 = 4 + 12i + 9i^2 = 4 + 12i - 9 = -5 + 12i$.

Подставим результат в уравнение:

$(-5 + 12i) + a(-2 - 3i) + 13 = 0$

Сгруппируем известные члены:

$8 + 12i + a(-2 - 3i) = 0$

$8 + 12i - a(2 + 3i) = 0$

Выразим слагаемое с $a$:

$a(2 + 3i) = 8 + 12i$

Найдем $a$:

$a = \frac{8 + 12i}{2 + 3i}$

В числителе вынесем общий множитель $4$:

$a = \frac{4(2 + 3i)}{2 + 3i} = 4$

Ответ: $a = 4$.

Подставим корень $z = 4 + 3i$ в уравнение $z^2 + (1 - a^2)z + 25 = 0$.

$(4 + 3i)^2 + (1 - a^2)(4 + 3i) + 25 = 0$

Вычислим квадрат: $(4 + 3i)^2 = 4^2 + 2 \cdot 4 \cdot 3i + (3i)^2 = 16 + 24i + 9i^2 = 16 + 24i - 9 = 7 + 24i$.

Подставим результат в уравнение:

$(7 + 24i) + (1 - a^2)(4 + 3i) + 25 = 0$

Сгруппируем известные члены:

$32 + 24i + (1 - a^2)(4 + 3i) = 0$

Выразим слагаемое с $a$:

$(1 - a^2)(4 + 3i) = -32 - 24i$

Выразим множитель $(1 - a^2)$:

$1 - a^2 = \frac{-32 - 24i}{4 + 3i}$

В числителе вынесем общий множитель $-8$:

$1 - a^2 = \frac{-8(4 + 3i)}{4 + 3i} = -8$

Теперь решим полученное уравнение относительно $a$:

$1 - a^2 = -8$

$a^2 = 1 - (-8) = 9$

$a = \pm\sqrt{9}$

Таким образом, $a = 3$ или $a = -3$.

Ответ: $a = \pm 3$.

Подставим корень $z = -5 + 4i$ в уравнение $z^2 + (a^2 + 2a + 2)z + 41 = 0$.

$(-5 + 4i)^2 + (a^2 + 2a + 2)(-5 + 4i) + 41 = 0$

Вычислим квадрат: $(-5 + 4i)^2 = (-5)^2 + 2 \cdot (-5) \cdot 4i + (4i)^2 = 25 - 40i + 16i^2 = 25 - 40i - 16 = 9 - 40i$.

Подставим результат в уравнение:

$(9 - 40i) + (a^2 + 2a + 2)(-5 + 4i) + 41 = 0$

Сгруппируем известные члены:

$50 - 40i + (a^2 + 2a + 2)(-5 + 4i) = 0$

Выразим слагаемое с $a$:

$(a^2 + 2a + 2)(-5 + 4i) = -50 + 40i$

Выразим множитель $(a^2 + 2a + 2)$:

$a^2 + 2a + 2 = \frac{-50 + 40i}{-5 + 4i}$

В числителе вынесем общий множитель $10$:

$a^2 + 2a + 2 = \frac{10(-5 + 4i)}{-5 + 4i} = 10$

Теперь решим полученное квадратное уравнение относительно $a$:

$a^2 + 2a + 2 = 10$

$a^2 + 2a - 8 = 0$

Это квадратное уравнение можно решить, например, разложением на множители:

$(a + 4)(a - 2) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $a$:

$a_1 = -4$, $a_2 = 2$.

Ответ: $a = -4; 2$.

35.11. Вычислите $\sqrt{a + bi}$, решив уравнение $(x + yi)^2 = a + bi$:

а) $\sqrt{4}$;

б) $\sqrt{-4}$;

в) $\sqrt{9i}$;

г) $\sqrt{-25i}$.

Для вычисления квадратного корня из комплексного числа $z = a + bi$ необходимо найти такое комплексное число $w = x + yi$ (где $x$ и $y$ — действительные числа), чтобы выполнялось равенство $w^2 = z$ или $(x + yi)^2 = a + bi$.

Раскроем квадрат в левой части уравнения: $(x + yi)^2 = x^2 + 2xyi + (yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi$.

Приравнивая действительные и мнимые части полученного выражения к $a + bi$, получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = a \\ 2xy = b \end{cases}$

Решим эту систему для каждого из заданных случаев.

а) $\sqrt{4}$;

В данном случае мы ищем корень из действительного числа 4, которое можно представить в виде комплексного числа $4 + 0i$. Таким образом, $a = 4$ и $b = 0$.

Система уравнений принимает вид:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 4 \\ 2xy = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения ($2xy = 0$) следует, что либо $x=0$, либо $y=0$.

1. Если $x=0$, то первое уравнение становится $-y^2 = 4$, или $y^2 = -4$. Это уравнение не имеет решений в действительных числах для $y$.

2. Если $y=0$, то первое уравнение становится $x^2 = 4$. Отсюда получаем два решения для $x$: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Таким образом, мы получаем два комплексных числа: $z_1 = 2 + 0i = 2$ и $z_2 = -2 + 0i = -2$.

Ответ: $\pm 2$.

б) $\sqrt{-4}$;

В данном случае комплексное число равно $-4 + 0i$. Таким образом, $a = -4$ и $b = 0$.

Система уравнений принимает вид:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = -4 \\ 2xy = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения ($2xy = 0$) следует, что либо $x=0$, либо $y=0$.

1. Если $y=0$, то первое уравнение становится $x^2 = -4$. Это уравнение не имеет решений в действительных числах для $x$.

2. Если $x=0$, то первое уравнение становится $-y^2 = -4$, или $y^2 = 4$. Отсюда получаем два решения для $y$: $y_1 = 2$ и $y_2 = -2$.

Таким образом, мы получаем два комплексных числа: $z_1 = 0 + 2i = 2i$ и $z_2 = 0 - 2i = -2i$.

Ответ: $\pm 2i$.

в) $\sqrt{9i}$;

В данном случае комплексное число равно $0 + 9i$. Таким образом, $a = 0$ и $b = 9$.

Система уравнений принимает вид:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 0 \\ 2xy = 9 \end{cases}$

Из первого уравнения $x^2 = y^2$, что означает $y = x$ или $y = -x$.

1. Подставим $y = x$ во второе уравнение: $2x(x) = 9 \implies 2x^2 = 9 \implies x^2 = \frac{9}{2}$. Отсюда $x = \pm \sqrt{\frac{9}{2}} = \pm \frac{3}{\sqrt{2}} = \pm \frac{3\sqrt{2}}{2}$.
Если $x = \frac{3\sqrt{2}}{2}$, то и $y = \frac{3\sqrt{2}}{2}$. Первое решение: $\frac{3\sqrt{2}}{2} + i\frac{3\sqrt{2}}{2}$.
Если $x = -\frac{3\sqrt{2}}{2}$, то и $y = -\frac{3\sqrt{2}}{2}$. Второе решение: $-\frac{3\sqrt{2}}{2} - i\frac{3\sqrt{2}}{2}$.

2. Подставим $y = -x$ во второе уравнение: $2x(-x) = 9 \implies -2x^2 = 9 \implies x^2 = -\frac{9}{2}$. Это уравнение не имеет решений в действительных числах для $x$.

Таким образом, мы получаем два решения, которые можно записать в виде $\pm \left(\frac{3\sqrt{2}}{2} + i\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)$.

Ответ: $\pm \frac{3\sqrt{2}}{2}(1+i)$.

г) $\sqrt{-25i}$;

В данном случае комплексное число равно $0 - 25i$. Таким образом, $a = 0$ и $b = -25$.

Система уравнений принимает вид:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 0 \\ 2xy = -25 \end{cases}$

Из первого уравнения $x^2 = y^2$, что означает $y = x$ или $y = -x$.

1. Подставим $y = x$ во второе уравнение: $2x(x) = -25 \implies 2x^2 = -25 \implies x^2 = -\frac{25}{2}$. Это уравнение не имеет решений в действительных числах для $x$.

2. Подставим $y = -x$ во второе уравнение: $2x(-x) = -25 \implies -2x^2 = -25 \implies x^2 = \frac{25}{2}$. Отсюда $x = \pm \sqrt{\frac{25}{2}} = \pm \frac{5}{\sqrt{2}} = \pm \frac{5\sqrt{2}}{2}$.
Если $x = \frac{5\sqrt{2}}{2}$, то $y = -x = -\frac{5\sqrt{2}}{2}$. Первое решение: $\frac{5\sqrt{2}}{2} - i\frac{5\sqrt{2}}{2}$.
Если $x = -\frac{5\sqrt{2}}{2}$, то $y = -x = \frac{5\sqrt{2}}{2}$. Второе решение: $-\frac{5\sqrt{2}}{2} + i\frac{5\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, мы получаем два решения, которые можно записать в виде $\pm \left(\frac{5\sqrt{2}}{2} - i\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)$.

Ответ: $\pm \frac{5\sqrt{2}}{2}(1-i)$.

35.12. Вычислите $\sqrt{a+bi}$, решив уравнение $(x+yi)^2 = a+bi$ или использовав формулу

$\sqrt{a+bi} = \pm \left( \sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}{2}} + i \cdot \frac{b}{|b|} \cdot \sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}} \right):$

a) $\sqrt{3-4i};$

б) $\sqrt{3+4i};$

в) $\sqrt{4-3i};$

г) $\sqrt{12+5i}.$

Для вычисления квадратного корня из комплексного числа $a + bi$ воспользуемся формулой:

$\sqrt{a + bi} = \pm \left( \sqrt{\frac{\sqrt{a^2 + b^2} + a}{2}} + i \cdot \frac{b}{|b|} \cdot \sqrt{\frac{\sqrt{a^2 + b^2} - a}{2}} \right)$

a) Вычислим $\sqrt{3 - 4i}$.

В данном случае $a = 3$, $b = -4$.

Найдем модуль комплексного числа: $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Найдем знак мнимой части: $\frac{b}{|b|} = \frac{-4}{|-4|} = -1$.

Подставим значения в формулу:

$\sqrt{3 - 4i} = \pm \left( \sqrt{\frac{5 + 3}{2}} + i \cdot (-1) \cdot \sqrt{\frac{5 - 3}{2}} \right) = \pm \left( \sqrt{\frac{8}{2}} - i \sqrt{\frac{2}{2}} \right) = \pm (\sqrt{4} - i\sqrt{1}) = \pm(2 - i)$.

Ответ: $\pm(2 - i)$.

б) Вычислим $\sqrt{3 + 4i}$.

Здесь $a = 3$, $b = 4$.

Модуль комплексного числа: $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Знак мнимой части: $\frac{b}{|b|} = \frac{4}{|4|} = 1$.

Подставим значения в формулу:

$\sqrt{3 + 4i} = \pm \left( \sqrt{\frac{5 + 3}{2}} + i \cdot 1 \cdot \sqrt{\frac{5 - 3}{2}} \right) = \pm \left( \sqrt{\frac{8}{2}} + i \sqrt{\frac{2}{2}} \right) = \pm (\sqrt{4} + i\sqrt{1}) = \pm(2 + i)$.

Ответ: $\pm(2 + i)$.

в) Вычислим $\sqrt{4 - 3i}$.

Здесь $a = 4$, $b = -3$.

Модуль комплексного числа: $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

Знак мнимой части: $\frac{b}{|b|} = \frac{-3}{|-3|} = -1$.

Подставим значения в формулу:

$\sqrt{4 - 3i} = \pm \left( \sqrt{\frac{5 + 4}{2}} + i \cdot (-1) \cdot \sqrt{\frac{5 - 4}{2}} \right) = \pm \left( \sqrt{\frac{9}{2}} - i \sqrt{\frac{1}{2}} \right) = \pm \left( \frac{3}{\sqrt{2}} - \frac{i}{\sqrt{2}} \right) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}(3 - i)$.

Ответ: $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}(3 - i)$.

г) Вычислим $\sqrt{12 + 5i}$.

Здесь $a = 12$, $b = 5$.

Модуль комплексного числа: $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$.

Знак мнимой части: $\frac{b}{|b|} = \frac{5}{|5|} = 1$.

Подставим значения в формулу:

$\sqrt{12 + 5i} = \pm \left( \sqrt{\frac{13 + 12}{2}} + i \cdot 1 \cdot \sqrt{\frac{13 - 12}{2}} \right) = \pm \left( \sqrt{\frac{25}{2}} + i \sqrt{\frac{1}{2}} \right) = \pm \left( \frac{5}{\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{2}} \right) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}(5 + i)$.

Ответ: $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}(5 + i)$.