Номер 35.11, страница 204, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

35.11. Вычислите $\sqrt{a + bi}$, решив уравнение $(x + yi)^2 = a + bi$:

а) $\sqrt{4}$;

б) $\sqrt{-4}$;

в) $\sqrt{9i}$;

г) $\sqrt{-25i}$.

Для вычисления квадратного корня из комплексного числа $z = a + bi$ необходимо найти такое комплексное число $w = x + yi$ (где $x$ и $y$ — действительные числа), чтобы выполнялось равенство $w^2 = z$ или $(x + yi)^2 = a + bi$.

Раскроем квадрат в левой части уравнения: $(x + yi)^2 = x^2 + 2xyi + (yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi$.

Приравнивая действительные и мнимые части полученного выражения к $a + bi$, получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = a \\ 2xy = b \end{cases}$

Решим эту систему для каждого из заданных случаев.

а) $\sqrt{4}$;

В данном случае мы ищем корень из действительного числа 4, которое можно представить в виде комплексного числа $4 + 0i$. Таким образом, $a = 4$ и $b = 0$.

Система уравнений принимает вид:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 4 \\ 2xy = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения ($2xy = 0$) следует, что либо $x=0$, либо $y=0$.

1. Если $x=0$, то первое уравнение становится $-y^2 = 4$, или $y^2 = -4$. Это уравнение не имеет решений в действительных числах для $y$.

2. Если $y=0$, то первое уравнение становится $x^2 = 4$. Отсюда получаем два решения для $x$: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Таким образом, мы получаем два комплексных числа: $z_1 = 2 + 0i = 2$ и $z_2 = -2 + 0i = -2$.

Ответ: $\pm 2$.

б) $\sqrt{-4}$;

В данном случае комплексное число равно $-4 + 0i$. Таким образом, $a = -4$ и $b = 0$.

Система уравнений принимает вид:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = -4 \\ 2xy = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения ($2xy = 0$) следует, что либо $x=0$, либо $y=0$.

1. Если $y=0$, то первое уравнение становится $x^2 = -4$. Это уравнение не имеет решений в действительных числах для $x$.

2. Если $x=0$, то первое уравнение становится $-y^2 = -4$, или $y^2 = 4$. Отсюда получаем два решения для $y$: $y_1 = 2$ и $y_2 = -2$.

Таким образом, мы получаем два комплексных числа: $z_1 = 0 + 2i = 2i$ и $z_2 = 0 - 2i = -2i$.

Ответ: $\pm 2i$.

в) $\sqrt{9i}$;

В данном случае комплексное число равно $0 + 9i$. Таким образом, $a = 0$ и $b = 9$.

Система уравнений принимает вид:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 0 \\ 2xy = 9 \end{cases}$

Из первого уравнения $x^2 = y^2$, что означает $y = x$ или $y = -x$.

1. Подставим $y = x$ во второе уравнение: $2x(x) = 9 \implies 2x^2 = 9 \implies x^2 = \frac{9}{2}$. Отсюда $x = \pm \sqrt{\frac{9}{2}} = \pm \frac{3}{\sqrt{2}} = \pm \frac{3\sqrt{2}}{2}$.
Если $x = \frac{3\sqrt{2}}{2}$, то и $y = \frac{3\sqrt{2}}{2}$. Первое решение: $\frac{3\sqrt{2}}{2} + i\frac{3\sqrt{2}}{2}$.
Если $x = -\frac{3\sqrt{2}}{2}$, то и $y = -\frac{3\sqrt{2}}{2}$. Второе решение: $-\frac{3\sqrt{2}}{2} - i\frac{3\sqrt{2}}{2}$.

2. Подставим $y = -x$ во второе уравнение: $2x(-x) = 9 \implies -2x^2 = 9 \implies x^2 = -\frac{9}{2}$. Это уравнение не имеет решений в действительных числах для $x$.

Таким образом, мы получаем два решения, которые можно записать в виде $\pm \left(\frac{3\sqrt{2}}{2} + i\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)$.

Ответ: $\pm \frac{3\sqrt{2}}{2}(1+i)$.

г) $\sqrt{-25i}$;

В данном случае комплексное число равно $0 - 25i$. Таким образом, $a = 0$ и $b = -25$.

Система уравнений принимает вид:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 0 \\ 2xy = -25 \end{cases}$

Из первого уравнения $x^2 = y^2$, что означает $y = x$ или $y = -x$.

1. Подставим $y = x$ во второе уравнение: $2x(x) = -25 \implies 2x^2 = -25 \implies x^2 = -\frac{25}{2}$. Это уравнение не имеет решений в действительных числах для $x$.

2. Подставим $y = -x$ во второе уравнение: $2x(-x) = -25 \implies -2x^2 = -25 \implies x^2 = \frac{25}{2}$. Отсюда $x = \pm \sqrt{\frac{25}{2}} = \pm \frac{5}{\sqrt{2}} = \pm \frac{5\sqrt{2}}{2}$.
Если $x = \frac{5\sqrt{2}}{2}$, то $y = -x = -\frac{5\sqrt{2}}{2}$. Первое решение: $\frac{5\sqrt{2}}{2} - i\frac{5\sqrt{2}}{2}$.
Если $x = -\frac{5\sqrt{2}}{2}$, то $y = -x = \frac{5\sqrt{2}}{2}$. Второе решение: $-\frac{5\sqrt{2}}{2} + i\frac{5\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, мы получаем два решения, которые можно записать в виде $\pm \left(\frac{5\sqrt{2}}{2} - i\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)$.

Ответ: $\pm \frac{5\sqrt{2}}{2}(1-i)$.