Номер 35.18, страница 205, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

35.18. Решите уравнение:

а) $z^2 - 2iz = 0;$

б) $z^2 + 4iz = 0;$

В) $z^2 - 3z + 3 + i = 0;$

Г) $z^2 - 8z + 11 + 12i = 0.$

Дано уравнение $z^2 - 2iz = 0$.

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $z$ за скобки:

$z(z - 2i) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

$z_1 = 0$

$z - 2i = 0 \Rightarrow z_2 = 2i$

Ответ: $z_1 = 0; z_2 = 2i$.

Дано уравнение $z^2 + 4iz = 0$.

Это также неполное квадратное уравнение. Вынесем $z$ за скобки:

$z(z + 4i) = 0$

Приравнивая каждый множитель к нулю, находим корни:

$z_1 = 0$

$z + 4i = 0 \Rightarrow z_2 = -4i$

Ответ: $z_1 = 0; z_2 = -4i$.

Дано уравнение $z^2 - 3z + 3 + i = 0$.

Это полное квадратное уравнение вида $az^2+bz+c=0$ с коэффициентами $a=1$, $b=-3$, $c=3+i$.

Найдем дискриминант по формуле $\Delta = b^2 - 4ac$:

$\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (3+i) = 9 - 12 - 4i = -3 - 4i$.

Теперь нужно извлечь квадратный корень из комплексного числа $\Delta = -3 - 4i$. Пусть $\sqrt{-3 - 4i} = x+yi$. Тогда $(x+yi)^2 = -3-4i$, что равносильно системе уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = -3 \\ 2xy = -4 \end{cases}$

Из второго уравнения выражаем $y = -2/x$ и подставляем в первое:

$x^2 - (-2/x)^2 = -3 \Rightarrow x^2 - 4/x^2 = -3 \Rightarrow x^4 + 3x^2 - 4 = 0$.

Пусть $t=x^2$, $t \ge 0$. Получаем квадратное уравнение $t^2+3t-4=0$. Его корни $t_1=1$ и $t_2=-4$. Так как $t \ge 0$, подходит только $t=1$.

Тогда $x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.

Если $x=1$, то $y = -2/1 = -2$.

Если $x=-1$, то $y = -2/(-1) = 2$.

Таким образом, квадратные корни из дискриминанта равны $\pm(1-2i)$.

Находим корни уравнения по формуле $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$:

$z_{1,2} = \frac{3 \pm (1-2i)}{2}$

$z_1 = \frac{3 + (1-2i)}{2} = \frac{4 - 2i}{2} = 2 - i$

$z_2 = \frac{3 - (1-2i)}{2} = \frac{3 - 1 + 2i}{2} = \frac{2 + 2i}{2} = 1 + i$

Ответ: $z_1 = 2 - i; z_2 = 1 + i$.

Дано уравнение $z^2 - 8z + 11 + 12i = 0$.

Это полное квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=-8$, $c=11+12i$.

Найдем дискриминант $\Delta = b^2 - 4ac$:

$\Delta = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (11+12i) = 64 - 44 - 48i = 20 - 48i$.

Извлечем квадратный корень из $\Delta = 20 - 48i$. Пусть $\sqrt{20 - 48i} = x+yi$. Тогда $(x+yi)^2 = 20-48i$, что приводит к системе:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 20 \\ 2xy = -48 \end{cases}$

Из второго уравнения $y = -24/x$. Подставляем в первое:

$x^2 - (-24/x)^2 = 20 \Rightarrow x^2 - 576/x^2 = 20 \Rightarrow x^4 - 20x^2 - 576 = 0$.

Пусть $t=x^2$, $t \ge 0$. Уравнение $t^2 - 20t - 576 = 0$. Его корни $t = \frac{20 \pm \sqrt{(-20)^2 - 4(1)(-576)}}{2} = \frac{20 \pm \sqrt{400+2304}}{2} = \frac{20 \pm \sqrt{2704}}{2} = \frac{20 \pm 52}{2}$.

Получаем $t_1=36$ и $t_2=-16$. Подходит только $t=36$.

Тогда $x^2 = 36 \Rightarrow x = \pm 6$.

Если $x=6$, то $y = -24/6 = -4$.

Если $x=-6$, то $y = -24/(-6) = 4$.

Следовательно, квадратные корни из дискриминанта равны $\pm(6-4i)$.

Находим корни уравнения по формуле $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$:

$z_{1,2} = \frac{-(-8) \pm (6-4i)}{2} = \frac{8 \pm (6-4i)}{2}$

$z_1 = \frac{8 + (6-4i)}{2} = \frac{14 - 4i}{2} = 7 - 2i$

$z_2 = \frac{8 - (6-4i)}{2} = \frac{8 - 6 + 4i}{2} = \frac{2 + 4i}{2} = 1 + 2i$

Ответ: $z_1 = 7 - 2i; z_2 = 1 + 2i$.