Номер 36.3, страница 206, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

36.3. Пусть $z = \cos 0.19\pi + i \sin 0.19\pi$. Какие числа из множества $\{z, z^2, z^3, \dots, z^9, z^{10}\}$:

а) расположены выше оси абсцисс;

б) расположены правее оси ординат;

в) расположены в первой координатной четверти;

г) расположены во второй или в четвёртой координатной четверти?

Дано комплексное число в тригонометрической форме $z = \cos(0,19\pi) + i \sin(0,19\pi)$. Его модуль $|z|=1$, а аргумент $\arg(z) = 0,19\pi$.Мы рассматриваем множество чисел $\{z, z^2, z^3, \dots, z^9, z^{10}\}$.

Для нахождения степеней числа $z^n$ воспользуемся формулой Муавра:$z^n = (\cos\varphi + i \sin\varphi)^n = \cos(n\varphi) + i \sin(n\varphi)$.

В нашем случае $\varphi = 0,19\pi$, поэтому $z^n = \cos(n \cdot 0,19\pi) + i \sin(n \cdot 0,19\pi)$. Аргумент числа $z^n$ равен $\arg(z^n) = n \cdot 0,19\pi$.Положение комплексного числа на плоскости определяется его аргументом. Границы координатных четвертей определяются углами $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$, $2\pi$. В десятичной форме это $0,5\pi$, $1\pi$, $1,5\pi$, $2\pi$.

Комплексное число расположено выше оси абсцисс (вещественной оси), если его мнимая часть положительна. Для числа $z^n = \cos(n \cdot 0,19\pi) + i \sin(n \cdot 0,19\pi)$ это означает, что $\sin(n \cdot 0,19\pi) > 0$.Это условие выполняется, когда аргумент числа находится в первой или второй четверти, то есть $0 < \arg(z^n) < \pi$ (с точностью до периода $2\pi$).Подставим выражение для аргумента: $0 < n \cdot 0,19\pi < \pi$.Разделим неравенство на $0,19\pi$: $0 < n < \frac{1}{0,19}$.Так как $\frac{1}{0,19} \approx 5,26$, то целые значения $n$ из диапазона $\{1, 2, \dots, 10\}$, удовлетворяющие этому условию, это $n = 1, 2, 3, 4, 5$.Следовательно, это числа $z, z^2, z^3, z^4, z^5$.
Ответ: $z, z^2, z^3, z^4, z^5$.

Комплексное число расположено правее оси ординат (мнимой оси), если его действительная часть положительна. Для числа $z^n$ это означает, что $\cos(n \cdot 0,19\pi) > 0$.Это условие выполняется, когда аргумент числа находится в первой или четвертой четверти, то есть $0 < \arg(z^n) < \frac{\pi}{2}$ или $\frac{3\pi}{2} < \arg(z^n) < 2\pi$.Рассмотрим два случая:
1) $0 < n \cdot 0,19\pi < 0,5\pi$. Разделив на $0,19\pi$, получим $0 < n < \frac{0,5}{0,19} \approx 2,63$. Целые значения $n$: $1, 2$.
2) $1,5\pi < n \cdot 0,19\pi < 2\pi$. Разделив на $0,19\pi$, получим $\frac{1,5}{0,19} < n < \frac{2}{0,19}$, что примерно равно $7,89 < n < 10,52$. Целые значения $n$: $8, 9, 10$.
Объединяя оба случая, получаем $n = 1, 2, 8, 9, 10$.Следовательно, это числа $z, z^2, z^8, z^9, z^{10}$.
Ответ: $z, z^2, z^8, z^9, z^{10}$.

Комплексное число расположено в первой координатной четверти, если и действительная, и мнимая части положительны. Это означает, что $\cos(n \cdot 0,19\pi) > 0$ и $\sin(n \cdot 0,19\pi) > 0$.Это условие выполняется, когда аргумент числа находится в интервале $0 < \arg(z^n) < \frac{\pi}{2}$.$0 < n \cdot 0,19\pi < 0,5\pi$.Разделив на $0,19\pi$, получим $0 < n < \frac{0,5}{0,19} \approx 2,63$.Целые значения $n$ из заданного диапазона: $1, 2$.Следовательно, это числа $z, z^2$.
Ответ: $z, z^2$.

Комплексное число расположено во второй четверти, если его действительная часть отрицательна, а мнимая положительна ($\frac{\pi}{2} < \arg(z^n) < \pi$).Комплексное число расположено в четвертой четверти, если его действительная часть положительна, а мнимая отрицательна ($\frac{3\pi}{2} < \arg(z^n) < 2\pi$).Рассмотрим оба случая:
1) Вторая четверть: $\frac{\pi}{2} < n \cdot 0,19\pi < \pi$. Разделив на $0,19\pi$, получим $\frac{0,5}{0,19} < n < \frac{1}{0,19}$, что примерно равно $2,63 < n < 5,26$. Целые значения $n$: $3, 4, 5$.
2) Четвертая четверть: $\frac{3\pi}{2} < n \cdot 0,19\pi < 2\pi$. Разделив на $0,19\pi$, получим $\frac{1,5}{0,19} < n < \frac{2}{0,19}$, что примерно равно $7,89 < n < 10,52$. Целые значения $n$: $8, 9, 10$.
Объединяя оба случая, получаем $n = 3, 4, 5, 8, 9, 10$.Следовательно, это числа $z^3, z^4, z^5, z^8, z^9, z^{10}$.
Ответ: $z^3, z^4, z^5, z^8, z^9, z^{10}$.