Номер 36.6, страница 207, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

36.6. Пусть $z = 0,5(\cos 0,23\pi + i \sin 0,23\pi)$. Какие числа из множества $\{z, z^2, z^3, \dots, z^9, z^{10}\}$:

а) расположены во второй координатной четверти;

б) расположены вне круга радиуса 0,2 с центром в начале координат;

в) расположены в первой координатной четверти;

г) расположены правее оси ординат и внутри круга радиуса 0,001 с центром в начале координат?

Дано комплексное число в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, где модуль $r = 0,5$, а аргумент $\varphi = 0,23\pi$.

Для нахождения степеней числа $z$ воспользуемся формулой Муавра: $z^n = [r(\cos\varphi + i\sin\varphi)]^n = r^n(\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi))$.

Для любого числа $z^n$ из множества $\{z, z^2, z^3, \dots, z^{10}\}$, где $n$ — натуральное число от 1 до 10, его модуль будет равен $|z^n| = r^n = (0,5)^n$, а его аргумент будет равен $\arg(z^n) = n\varphi = 0,23n\pi$.

а) расположены во второй координатной четверти;

Комплексное число находится во второй координатной четверти, если его аргумент $\psi$ находится в интервале $(\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \pi + 2\pi k)$ для некоторого целого $k$. В нашем случае $\psi = \arg(z^n) = 0,23n\pi$. Мы ищем такие натуральные числа $n$ от 1 до 10, что выполняется неравенство: $\frac{\pi}{2} + 2\pi k < 0,23n\pi < \pi + 2\pi k$.

Разделим неравенство на $\pi$: $0,5 + 2k < 0,23n < 1 + 2k$.

Рассмотрим случай при $k=0$: $0,5 < 0,23n < 1$. Разделим на 0,23: $\frac{0,5}{0,23} < n < \frac{1}{0,23}$. $2,17 < n < 4,35$. Целые значения $n$ в этом интервале: $n=3$ и $n=4$.

Рассмотрим случай при $k=1$: $2,5 < 0,23n < 3$. $\frac{2,5}{0,23} < n < \frac{3}{0,23}$. $10,87 < n < 13,04$. В этом диапазоне нет целых чисел $n$ от 1 до 10.

Следовательно, только числа $z^3$ и $z^4$ находятся во второй координатной четверти.

Ответ: $z^3, z^4$.

б) расположены вне круга радиуса 0,2 с центром в начале координат;

Комплексное число расположено вне круга радиуса $R=0,2$, если его модуль больше этого радиуса. То есть, мы ищем числа $z^n$, для которых $|z^n| > 0,2$. Модуль числа $z^n$ равен $|z^n| = (0,5)^n$. Решим неравенство: $(0,5)^n > 0,2$.

Проверим значения для $n$ от 1 до 10:

• При $n=1$: $(0,5)^1 = 0,5$. Так как $0,5 > 0,2$, то $z^1$ подходит.
• При $n=2$: $(0,5)^2 = 0,25$. Так как $0,25 > 0,2$, то $z^2$ подходит.
• При $n=3$: $(0,5)^3 = 0,125$. Так как $0,125 < 0,2$, то $z^3$ не подходит.

Поскольку функция $y=(0,5)^n$ является убывающей, для всех $n \geq 3$ неравенство $(0,5)^n > 0,2$ выполняться не будет.

Следовательно, условию удовлетворяют числа $z$ и $z^2$.

Ответ: $z, z^2$.

в) расположены в первой координатной четверти;

Комплексное число находится в первой координатной четверти, если его аргумент $\psi$ находится в интервале $(2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$ для некоторого целого $k$. $\psi = 0,23n\pi$. $2\pi k < 0,23n\pi < \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

Разделим неравенство на $\pi$: $2k < 0,23n < 0,5 + 2k$.

Рассмотрим случай при $k=0$: $0 < 0,23n < 0,5$. $0 < n < \frac{0,5}{0,23}$. $0 < n < 2,17$. Целые значения $n$ в этом интервале: $n=1$ и $n=2$.

Рассмотрим случай при $k=1$: $2 < 0,23n < 2,5$. $\frac{2}{0,23} < n < \frac{2,5}{0,23}$. $8,7 < n < 10,87$. Целые значения $n$ в этом интервале: $n=9$ и $n=10$.

Рассмотрим случай при $k=2$: $4 < 0,23n < 4,5$. $\frac{4}{0,23} < n < \frac{4,5}{0,23}$. $17,39 < n < 19,56$. В этом диапазоне нет целых чисел $n$ от 1 до 10.

Таким образом, в первой координатной четверти находятся числа $z, z^2, z^9, z^{10}$.

Ответ: $z, z^2, z^9, z^{10}$.

г) расположены правее оси ординат и внутри круга радиуса 0,001 с центром в начале координат?

Задача содержит два условия, которые должны выполняться одновременно.

1. Число расположено правее оси ординат (оси $Im$). Это означает, что его действительная часть положительна: $\text{Re}(z^n) > 0$. $\text{Re}(z^n) = |z^n|\cos(\arg(z^n)) = (0,5)^n \cos(0,23n\pi)$. Поскольку $(0,5)^n$ всегда положительно, условие сводится к $\cos(0,23n\pi) > 0$. Это выполняется, когда аргумент находится в первой или четвертой координатной четверти, то есть $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < 0,23n\pi < \frac{\pi}{2} + 2\pi k$. Разделив на $\pi$, получаем: $-0,5 + 2k < 0,23n < 0,5 + 2k$. При $k=0$: $-0,5 < 0,23n < 0,5 \Rightarrow n < \frac{0,5}{0,23} \approx 2,17$. Целые $n$: $1, 2$. При $k=1$: $1,5 < 0,23n < 2,5 \Rightarrow \frac{1,5}{0,23} < n < \frac{2,5}{0,23} \Rightarrow 6,52 < n < 10,87$. Целые $n$: $7, 8, 9, 10$. Итак, первому условию удовлетворяют $n \in \{1, 2, 7, 8, 9, 10\}$.

2. Число расположено внутри круга радиуса 0,001. Это означает, что его модуль меньше 0,001: $|z^n| < 0,001$. $|z^n| = (0,5)^n$. Решим неравенство: $(0,5)^n < 0,001$. $(\frac{1}{2})^n < \frac{1}{1000}$. $2^n > 1000$. Проверим степени двойки: $2^9 = 512$, $2^{10} = 1024$. Неравенство $2^n > 1000$ выполняется для $n \geq 10$. Так как мы рассматриваем $n$ от 1 до 10, единственное подходящее значение — это $n=10$.

Чтобы выполнялись оба условия, нужно найти пересечение множеств решений для $n$. Множество решений для условия 1: $\{1, 2, 7, 8, 9, 10\}$. Множество решений для условия 2: $\{10\}$. Пересечением этих множеств является $\{10\}$. Следовательно, только число $z^{10}$ удовлетворяет обоим условиям.

Ответ: $z^{10}$.