Номер 36.11, страница 207, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

36.11. а) $(1 + i)^{-4}$;

б) $(1 + i)^{-6}$;

В) $(1 - i)^{-10}$;

Г) $(1 - i)^{-20}$.

а) Чтобы найти значение выражения $(1 + i)^{-4}$, представим его в виде дроби, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$(1 + i)^{-4} = \frac{1}{(1 + i)^4}$.

Вычисление степени удобно проводить по частям. Сначала возведем основание в квадрат:

$(1 + i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$.

Теперь возведем полученный результат еще раз в квадрат, чтобы получить четвертую степень:

$(1 + i)^4 = ((1 + i)^2)^2 = (2i)^2 = 4i^2 = 4 \cdot (-1) = -4$.

Подставим это значение обратно в дробь:

$(1 + i)^{-4} = \frac{1}{-4} = -\frac{1}{4}$.

Ответ: $-\frac{1}{4}$.

б) Рассмотрим выражение $(1 + i)^{-6}$. Запишем его в виде дроби:

$(1 + i)^{-6} = \frac{1}{(1 + i)^6}$.

Из предыдущего пункта мы знаем, что $(1 + i)^2 = 2i$. Используем это для нахождения шестой степени:

$(1 + i)^6 = ((1 + i)^2)^3 = (2i)^3 = 2^3 \cdot i^3 = 8 \cdot (-i) = -8i$.

Теперь найдем обратное значение:

$(1 + i)^{-6} = \frac{1}{-8i}$.

Чтобы избавиться от мнимой единицы в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $i$:

$\frac{1}{-8i} = \frac{1 \cdot i}{-8i \cdot i} = \frac{i}{-8i^2} = \frac{i}{-8(-1)} = \frac{i}{8}$.

Ответ: $\frac{i}{8}$.

в) Для вычисления $(1 - i)^{-10}$, представим его как $\frac{1}{(1 - i)^{10}}$.

Найдем сначала $(1 - i)^2$:

$(1 - i)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i$.

Теперь найдем десятую степень, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(1 - i)^{10} = ((1 - i)^2)^5 = (-2i)^5 = (-2)^5 \cdot i^5 = -32 \cdot i^5$.

Поскольку $i^4 = 1$, то $i^5 = i^4 \cdot i = 1 \cdot i = i$.

Таким образом, $(1 - i)^{10} = -32i$.

Теперь найдем обратное значение:

$(1 - i)^{-10} = \frac{1}{-32i}$.

Избавимся от $i$ в знаменателе, умножив на сопряженное число (в данном случае, просто на $i$):

$\frac{1}{-32i} = \frac{1 \cdot i}{-32i \cdot i} = \frac{i}{-32i^2} = \frac{i}{-32(-1)} = \frac{i}{32}$.

Ответ: $\frac{i}{32}$.

г) Найдем значение выражения $(1 - i)^{-20}$.

$(1 - i)^{-20} = \frac{1}{(1 - i)^{20}}$.

Как и в предыдущем примере, используем то, что $(1 - i)^2 = -2i$.

$(1 - i)^{20} = ((1 - i)^2)^{10} = (-2i)^{10} = (-2)^{10} \cdot i^{10}$.

Вычислим каждую часть отдельно:

$(-2)^{10} = 2^{10} = 1024$.

Для степени $i$ используем свойство $i^2 = -1$: $i^{10} = (i^2)^5 = (-1)^5 = -1$.

Тогда $(1 - i)^{20} = 1024 \cdot (-1) = -1024$.

Наконец, находим искомое значение:

$(1 - i)^{-20} = \frac{1}{-1024} = -\frac{1}{1024}$.

Ответ: $-\frac{1}{1024}$.