Номер 36.14, страница 207, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

36.14. а) Вычислите $z^{12}$, если $z = 2 \cos \frac{\pi}{8} \left( \sin \frac{3\pi}{4} + i \cos \frac{3\pi}{4} \right)$;

б) вычислите $z^{30}$, если $z = 2 \sin \frac{\pi}{12} \left( 1 - \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6} \right)$.

а) Для того чтобы вычислить $z^{12}$, необходимо сначала представить комплексное число $z$ в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, где $r$ — модуль числа, а $\varphi$ — его аргумент.

Дано комплексное число $z = 2 \cos\frac{\pi}{8} \left( \sin\frac{3\pi}{4} + i \cos\frac{3\pi}{4} \right)$.

Выражение в скобках не соответствует стандартной тригонометрической форме. Преобразуем его, используя формулы приведения: $\sin\alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$ и $\cos\alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.

$\sin\frac{3\pi}{4} + i \cos\frac{3\pi}{4} = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{4}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)$.

Теперь подставим это в выражение для $z$:
$z = 2 \cos\frac{\pi}{8} \left( \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) \right)$.

Отсюда мы можем определить модуль и аргумент числа $z$. Модуль $r = |z| = 2 \cos\frac{\pi}{8}$. Так как $0 < \frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{2}$, то $\cos\frac{\pi}{8} > 0$, поэтому модуль положителен. Аргумент $\varphi = -\frac{\pi}{4}$.

Для возведения в степень используем формулу Муавра: $z^n = r^n(\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi))$. В нашем случае $n=12$. $z^{12} = \left(2 \cos\frac{\pi}{8}\right)^{12} \left( \cos\left(12 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) + i \sin\left(12 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) \right)$.

Вычислим компоненты: $12 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right) = -3\pi$. $\cos(-3\pi) + i \sin(-3\pi) = \cos(3\pi) + i(-\sin(3\pi)) = -1 + i \cdot 0 = -1$.

Теперь вычислим модуль в 12-й степени. Используем формулу понижения степени $\cos^2\alpha = \frac{1+\cos(2\alpha)}{2}$: $r^{12} = \left(2 \cos\frac{\pi}{8}\right)^{12} = 2^{12} \left(\cos^2\frac{\pi}{8}\right)^6 = 2^{12} \left(\frac{1+\cos(\frac{\pi}{4})}{2}\right)^6 = 2^{12} \left(\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}\right)^6 = 2^{12} \left(\frac{2+\sqrt{2}}{4}\right)^6 = 2^{12} \frac{(2+\sqrt{2})^6}{4^6} = 2^{12} \frac{(2+\sqrt{2})^6}{(2^2)^6} = (2+\sqrt{2})^6$.

Раскроем скобки $(2+\sqrt{2})^6$: $(2+\sqrt{2})^2 = 4 + 4\sqrt{2} + 2 = 6+4\sqrt{2}$. $(2+\sqrt{2})^6 = ((2+\sqrt{2})^2)^3 = (6+4\sqrt{2})^3 = (2(3+2\sqrt{2}))^3 = 8(3+2\sqrt{2})^3$. $(3+2\sqrt{2})^3 = 3^3 + 3 \cdot 3^2 \cdot (2\sqrt{2}) + 3 \cdot 3 \cdot (2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^3 = 27 + 54\sqrt{2} + 72 + 16\sqrt{2} = 99 + 70\sqrt{2}$. $r^{12} = 8(99+70\sqrt{2}) = 792 + 560\sqrt{2}$.

Собираем все вместе: $z^{12} = r^{12} \cdot (-1) = -(792 + 560\sqrt{2})$.

Ответ: $-(792 + 560\sqrt{2})$.

б) Для вычисления $z^{30}$ также представим число $z$ в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$.

Дано комплексное число $z = 2 \sin\frac{\pi}{12} \left( 1 - \cos\frac{5\pi}{6} + i \sin\frac{5\pi}{6} \right)$.

Преобразуем выражение в скобках, используя формулы половинного угла: $1 - \cos\alpha = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$ $\sin\alpha = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$

Пусть $\alpha = \frac{5\pi}{6}$, тогда $\frac{\alpha}{2} = \frac{5\pi}{12}$. $1 - \cos\frac{5\pi}{6} + i \sin\frac{5\pi}{6} = 2\sin^2\frac{5\pi}{12} + i \left(2\sin\frac{5\pi}{12}\cos\frac{5\pi}{12}\right) = 2\sin\frac{5\pi}{12}\left(\sin\frac{5\pi}{12} + i \cos\frac{5\pi}{12}\right)$.

Как и в пункте а), преобразуем выражение в скобках к стандартному виду: $\sin\frac{5\pi}{12} + i \cos\frac{5\pi}{12} = \cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{5\pi}{12}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{5\pi}{12}\right) = \cos\frac{\pi}{12} + i \sin\frac{\pi}{12}$.

Подставляем это обратно в выражение для $z$: $z = 2 \sin\frac{\pi}{12} \left[ 2\sin\frac{5\pi}{12}\left(\cos\frac{\pi}{12} + i \sin\frac{\pi}{12}\right) \right] = 4 \sin\frac{\pi}{12} \sin\frac{5\pi}{12} \left(\cos\frac{\pi}{12} + i \sin\frac{\pi}{12}\right)$.

Теперь $z$ представлено в тригонометрической форме. Его модуль $r = 4 \sin\frac{\pi}{12} \sin\frac{5\pi}{12}$, а аргумент $\varphi = \frac{\pi}{12}$. Упростим выражение для модуля, используя то, что $\sin\frac{5\pi}{12} = \sin\left(\frac{6\pi-\pi}{12}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{12}\right) = \cos\frac{\pi}{12}$. $r = 4\sin\frac{\pi}{12}\cos\frac{\pi}{12}$. Используя формулу синуса двойного угла $2\sin\beta\cos\beta = \sin(2\beta)$: $r = 2 \left(2\sin\frac{\pi}{12}\cos\frac{\pi}{12}\right) = 2\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{12}\right) = 2\sin\frac{\pi}{6} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.

Таким образом, тригонометрическая форма числа $z$: $z = 1 \cdot \left(\cos\frac{\pi}{12} + i \sin\frac{\pi}{12}\right)$.

Теперь возведем $z$ в 30-ю степень по формуле Муавра: $z^{30} = 1^{30} \left( \cos\left(30 \cdot \frac{\pi}{12}\right) + i \sin\left(30 \cdot \frac{\pi}{12}\right) \right) = \cos\frac{5\pi}{2} + i \sin\frac{5\pi}{2}$.

Так как $\frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$, то $\cos\frac{5\pi}{2} = \cos\frac{\pi}{2} = 0$. $\sin\frac{5\pi}{2} = \sin\frac{\pi}{2} = 1$.

Следовательно, $z^{30} = 0 + i \cdot 1 = i$.

Ответ: $i$.