Номер 36.15, страница 208, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

36.15. Пусть ${z, z^2, z^3, ..., z^n, z^{n+1}, ...}$ — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем $z = \cos 0,2\pi + i \sin 0,2\pi$.

а) Укажите наименьшее натуральное значение $n$, при котором $z^n$ принадлежит второй координатной четверти.

б) Укажите наименьшее натуральное значение $n$, при котором $z^n$ принадлежит четвёртой координатной четверти.

в) Укажите наименьшее натуральное значение $n$, при котором $z^n = 1$.

г) Сколько в этой прогрессии различных чисел?

а) По формуле Муавра $n$-я степень комплексного числа $z = \cos(0,2\pi) + i \sin(0,2\pi)$ равна $z^n = \cos(0,2n\pi) + i \sin(0,2n\pi)$. Аргумент этого числа равен $0,2n\pi$. Комплексное число принадлежит второй координатной четверти, если его аргумент $\varphi$ удовлетворяет неравенству $\frac{\pi}{2} < \varphi < \pi$. С учётом периодичности, $\frac{\pi}{2} + 2\pi k < \arg(z^n) < \pi + 2\pi k$ для некоторого целого $k$. Подставим выражение для аргумента: $\frac{\pi}{2} + 2\pi k < 0,2n\pi < \pi + 2\pi k$.
Разделим неравенство на $0,2\pi$:$\frac{1}{2 \cdot 0,2} + \frac{2k}{0,2} < n < \frac{1}{0,2} + \frac{2k}{0,2}$
$2,5 + 10k < n < 5 + 10k$
Мы ищем наименьшее натуральное $n$, поэтому рассмотрим $k=0$:$2,5 < n < 5$
Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, — это 3.
Ответ: 3

б) Комплексное число принадлежит четвёртой координатной четверти, если его аргумент $\varphi$ удовлетворяет неравенству $\frac{3\pi}{2} < \varphi < 2\pi$. С учётом периодичности, $\frac{3\pi}{2} + 2\pi k < \arg(z^n) < 2\pi + 2\pi k$ для некоторого целого $k$. Подставим $\arg(z^n) = 0,2n\pi$:$\frac{3\pi}{2} + 2\pi k < 0,2n\pi < 2\pi + 2\pi k$
Разделим неравенство на $0,2\pi$:$\frac{1,5}{0,2} + \frac{2k}{0,2} < n < \frac{2}{0,2} + \frac{2k}{0,2}$
$7,5 + 10k < n < 10 + 10k$
Для нахождения наименьшего натурального $n$ положим $k=0$:$7,5 < n < 10$
Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, — это 8.
Ответ: 8

в) Равенство $z^n = 1$ выполняется, когда аргумент числа $z^n$ является целым кратным $2\pi$. Аргумент $z^n$ равен $0,2n\pi$.$0,2n\pi = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$0,2n = 2k$
$n = 10k$
Мы ищем наименьшее натуральное значение $n$. Оно достигается при наименьшем натуральном значении $k$, то есть при $k=1$.$n = 10 \cdot 1 = 10$
Ответ: 10

г) Последовательность членов прогрессии $z, z^2, z^3, \ldots$ является периодической. Период этой последовательности определяется наименьшим натуральным $p$, для которого $z^p = 1$. Из пункта в) мы знаем, что это значение $p=10$. Это означает, что $z^{n+10} = z^n \cdot z^{10} = z^n \cdot 1 = z^n$ для любого натурального $n$. Следовательно, в прогрессии существует не более 10 различных членов: $z^1, z^2, \ldots, z^{10}$. Чтобы доказать, что их ровно 10, нужно показать, что все эти 10 членов различны. Если бы нашлись такие $n_1$ и $n_2$, что $1 \le n_1 < n_2 \le 10$ и $z^{n_1} = z^{n_2}$, то из этого следовало бы $z^{n_2-n_1} = 1$. Но $1 \le n_2-n_1 \le 9$, что противоречит тому, что 10 — это наименьшая натуральная степень, в которой $z$ равен 1. Таким образом, все 10 членов $z^1, \ldots, z^{10}$ различны.
Ответ: 10