Номер 36.16, страница 208, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

36.16. Пусть ${$z, z^2, z^3, \dots, z^n, z^{n+1}, \dots$}$ — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем $z = \cos 0.03\pi + i \sin 0.03\pi$.

а) Укажите наименьшее натуральное значение $n$, при котором $z^n$ принадлежит второй координатной четверти.

б) Укажите наименьшее натуральное значение $n$, при котором $z^n$ принадлежит третьей координатной четверти.

в) Укажите наименьшее натуральное значение $n$, при котором $z^n = -1$.

г) Сколько в этой прогрессии различных чисел?

Дано комплексное число в тригонометрической форме $z = \cos(0,03\pi) + i \sin(0,03\pi)$. Модуль этого числа $|z|=1$, а аргумент $\arg(z) = \phi = 0,03\pi$.

Для нахождения $n$-ой степени комплексного числа $z$ воспользуемся формулой Муавра:

$z^n = (\cos(\phi) + i \sin(\phi))^n = \cos(n\phi) + i \sin(n\phi)$.

В нашем случае $z^n = \cos(n \cdot 0,03\pi) + i \sin(n \cdot 0,03\pi)$. Аргумент числа $z^n$ равен $\arg(z^n) = 0,03n\pi$.

Положение комплексного числа на координатной плоскости определяется его аргументом.

• I четверть: $2\pi k < \arg < \frac{\pi}{2} + 2\pi k$
• II четверть: $\frac{\pi}{2} + 2\pi k < \arg < \pi + 2\pi k$
• III четверть: $\pi + 2\pi k < \arg < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$
• IV четверть: $\frac{3\pi}{2} + 2\pi k < \arg < 2\pi + 2\pi k$

где $k$ — целое число.

а) Укажите наименьшее натуральное значение n, при котором zⁿ принадлежит второй координатной четверти.

Комплексное число принадлежит второй координатной четверти, если его аргумент находится в интервале $(\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \pi + 2\pi k)$ для некоторого целого $k$. Так как $n$ — натуральное число, аргумент $0,03n\pi$ положителен. Ищем наименьшее $n$, удовлетворяющее неравенству при $k=0$:

$\frac{\pi}{2} < 0,03n\pi < \pi$

Разделим все части неравенства на $\pi$:

$\frac{1}{2} < 0,03n < 1$

$0,5 < 0,03n < 1$

Разделим на $0,03$:

$\frac{0,5}{0,03} < n < \frac{1}{0,03}$

$\frac{50}{3} < n < \frac{100}{3}$

$16\frac{2}{3} < n < 33\frac{1}{3}$

Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, это $17$.

Ответ: $17$

б) Укажите наименьшее натуральное значение n, при котором zⁿ принадлежит третьей координатной четверти.

Комплексное число принадлежит третьей координатной четверти, если его аргумент находится в интервале $(\pi + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$. Ищем наименьшее натуральное $n$ при $k=0$:

$\pi < 0,03n\pi < \frac{3\pi}{2}$

Разделим все части неравенства на $\pi$:

$1 < 0,03n < \frac{3}{2}$

$1 < 0,03n < 1,5$

Разделим на $0,03$:

$\frac{1}{0,03} < n < \frac{1,5}{0,03}$

$\frac{100}{3} < n < \frac{150}{3}$

$33\frac{1}{3} < n < 50$

Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, это $34$.

Ответ: $34$

в) Укажите наименьшее натуральное значение n, при котором zⁿ = -1.

Равенство $z^n = -1$ означает, что $z^n$ — это комплексное число с модулем $1$ и аргументом $\pi + 2\pi k$ для некоторого целого $k$. Модуль $|z^n|=|z|^n=1^n=1$ для любого $n$. Приравняем аргументы:

$\arg(z^n) = \pi + 2\pi k$

$0,03n\pi = (1 + 2k)\pi$

Разделим на $\pi$:

$0,03n = 1 + 2k$

$n = \frac{1+2k}{0,03} = \frac{100(1+2k)}{3}$

Так как $n$ должно быть натуральным числом, $100(1+2k)$ должно быть кратно $3$. Поскольку $100$ и $3$ взаимно просты, $1+2k$ должно быть кратно $3$. Ищем наименьшее натуральное $n$, поэтому перебираем целые неотрицательные значения $k$ (так как $n > 0$, то $1+2k > 0$, что верно для $k \ge 0$).

При $k=0$, $1+2k=1$, не кратно $3$.

При $k=1$, $1+2k=3$, кратно $3$.

Подставим $k=1$ в формулу для $n$:

$n = \frac{100(1+2 \cdot 1)}{3} = \frac{100 \cdot 3}{3} = 100$

Это и есть наименьшее искомое натуральное значение $n$.

Ответ: $100$

г) Сколько в этой прогрессии различных чисел?

Числа в последовательности $z^n$ начинают повторяться, когда при некотором наименьшем натуральном $p$ (периоде) выполняется равенство $z^p = 1$. Условие $z^p=1$ означает, что аргумент $z^p$ должен быть кратен $2\pi$.

$\arg(z^p) = 0,03p\pi = 2\pi k$ для некоторого натурального $k$.

$0,03p = 2k$

$p = \frac{2k}{0,03} = \frac{200k}{3}$

Чтобы $p$ было наименьшим натуральным числом, нужно, чтобы $k$ было наименьшим натуральным числом, при котором $200k$ делится на $3$. Так как $200$ и $3$ взаимно просты, наименьшее такое $k$ — это $k=3$.

При $k=3$ получаем период $p = \frac{200 \cdot 3}{3} = 200$.

Это означает, что $z^{200}=1$, и далее значения повторяются: $z^{201}=z^1$, $z^{202}=z^2$ и т.д. Все члены прогрессии с $n=1$ до $n=200$ различны, так как для $1 \le m < n \le 200$ разность $n-m$ не может быть кратной $200$. Следовательно, в прогрессии ровно $200$ различных чисел.

Ответ: $200$