Номер 36.23, страница 209, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

36.23. Решите уравнение:

a) $z^6 + (8 - i)z^3 + (1 + i)^6 = 0;$

б) $z^4 + (2 - 4i)z^2 - (1 - i)^6 = 0.$

а) $z^6 + (8 - i)z^3 + (1 + i)^6 = 0$

Данное уравнение является бикубическим. Сделаем замену $w = z^3$. Уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $w$:

$w^2 + (8 - i)w + (1 + i)^6 = 0$

Вычислим коэффициент $(1 + i)^6$. Проще всего это сделать, предварительно возведя в квадрат:

$(1 + i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$

Тогда $(1 + i)^6 = ((1 + i)^2)^3 = (2i)^3 = 8i^3 = 8(-i) = -8i$.

Подставим это значение в уравнение для $w$:

$w^2 + (8 - i)w - 8i = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $\Delta$:

$\Delta = b^2 - 4ac = (8 - i)^2 - 4(1)(-8i) = (64 - 16i + i^2) + 32i = (63 - 16i) + 32i = 63 + 16i$

Теперь нужно извлечь квадратный корень из комплексного числа $\Delta$. Пусть $\sqrt{63 + 16i} = x + iy$, где $x, y \in \mathbb{R}$.

$(x + iy)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi = 63 + 16i$

Приравнивая действительные и мнимые части, получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 63 \\ 2xy = 16 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y = \frac{8}{x}$ и подставим в первое:

$x^2 - \left(\frac{8}{x}\right)^2 = 63 \implies x^2 - \frac{64}{x^2} = 63$

Домножим на $x^2$ и перенесем все в одну сторону: $x^4 - 63x^2 - 64 = 0$.

Это биквадратное уравнение относительно $x$. Пусть $t=x^2$, $t \ge 0$:

$t^2 - 63t - 64 = 0$

По теореме Виета корни $t_1 = 64$ и $t_2 = -1$. Так как $t \ge 0$, подходит только $t = 64$.

$x^2 = 64 \implies x = \pm 8$.

Если $x = 8$, то $y = 8/8 = 1$.

Если $x = -8$, то $y = 8/(-8) = -1$.

Таким образом, $\sqrt{63 + 16i} = \pm(8 + i)$.

Найдем корни $w_{1,2}$:

$w_1 = \frac{-(8 - i) + (8 + i)}{2} = \frac{-8 + i + 8 + i}{2} = \frac{2i}{2} = i$

$w_2 = \frac{-(8 - i) - (8 + i)}{2} = \frac{-8 + i - 8 - i}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Теперь вернемся к замене $w = z^3$. Получаем два уравнения:

1) $z^3 = i$

2) $z^3 = -8$

Решим первое уравнение: $z^3 = i$. Представим $i$ в тригонометрической форме: $i = \cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2})$. Корни находятся по формуле Муавра:

$z_k = \sqrt[3]{1} \left( \cos\left(\frac{\pi/2 + 2\pi k}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi/2 + 2\pi k}{3}\right) \right)$, где $k=0, 1, 2$.

При $k=0: z_0 = \cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$.

При $k=1: z_1 = \cos(\frac{5\pi}{6}) + i\sin(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$.

При $k=2: z_2 = \cos(\frac{3\pi}{2}) + i\sin(\frac{3\pi}{2}) = -i$.

Решим второе уравнение: $z^3 = -8$. Представим $-8$ в тригонометрической форме: $-8 = 8(\cos(\pi) + i\sin(\pi))$.

$z_k = \sqrt[3]{8} \left( \cos\left(\frac{\pi + 2\pi k}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi + 2\pi k}{3}\right) \right)$, где $k=0, 1, 2$.

При $k=0: z_3 = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3})) = 2(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + i\sqrt{3}$.

При $k=1: z_4 = 2(\cos(\pi) + i\sin(\pi)) = -2$.

При $k=2: z_5 = 2(\cos(\frac{5\pi}{3}) + i\sin(\frac{5\pi}{3})) = 2(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 - i\sqrt{3}$.

Ответ: $z \in \{ -2; -i; \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i; -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i; 1 + i\sqrt{3}; 1 - i\sqrt{3} \}$.

б) $z^4 + (2 - 4i)z^2 - (1 - i)^6 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $w = z^2$. Уравнение примет вид:

$w^2 + (2 - 4i)w - (1 - i)^6 = 0$

Вычислим $(1 - i)^6$. Сначала найдем $(1 - i)^2$:

$(1 - i)^2 = 1 - 2i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i$

Тогда $(1 - i)^6 = ((1 - i)^2)^3 = (-2i)^3 = -8i^3 = -8(-i) = 8i$.

Подставим это значение в уравнение для $w$:

$w^2 + (2 - 4i)w - 8i = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $\Delta$:

$\Delta = b^2 - 4ac = (2 - 4i)^2 - 4(1)(-8i) = (4 - 16i + 16i^2) + 32i = (4 - 16 - 16i) + 32i = -12 + 16i$

Извлечем квадратный корень из $\Delta$. Пусть $\sqrt{-12 + 16i} = x + iy$:

$(x + iy)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi = -12 + 16i$

Получаем систему: $\begin{cases} x^2 - y^2 = -12 \\ 2xy = 16 \end{cases}$

Из второго уравнения $y = 8/x$. Подставляем в первое: $x^2 - (64/x^2) = -12 \implies x^4 + 12x^2 - 64 = 0$.

Пусть $t=x^2$, $t \ge 0$. Уравнение $t^2 + 12t - 64 = 0$. Его корни $t_1 = 4$ и $t_2 = -16$. Подходит $t = 4$.

$x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.

Если $x = 2$, то $y = 8/2 = 4$.

Если $x = -2$, то $y = 8/(-2) = -4$.

Следовательно, $\sqrt{-12 + 16i} = \pm(2 + 4i)$.

Найдем корни $w_{1,2}$:

$w_1 = \frac{-(2 - 4i) + (2 + 4i)}{2} = \frac{-2 + 4i + 2 + 4i}{2} = \frac{8i}{2} = 4i$

$w_2 = \frac{-(2 - 4i) - (2 + 4i)}{2} = \frac{-2 + 4i - 2 - 4i}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Возвращаемся к замене $z^2 = w$. Получаем два уравнения:

1) $z^2 = 4i$

2) $z^2 = -2$

Решим первое уравнение: $z^2 = 4i$.

$z = \pm\sqrt{4i} = \pm 2\sqrt{i}$. Найдем $\sqrt{i}$.

$\sqrt{i} = \sqrt{\cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2})} = \cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Значит $z = \pm 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pm (\sqrt{2} + i\sqrt{2})$.

Получаем два корня: $z_1 = \sqrt{2} + i\sqrt{2}$ и $z_2 = -\sqrt{2} - i\sqrt{2}$.

Решим второе уравнение: $z^2 = -2$.

$z = \pm \sqrt{-2} = \pm i\sqrt{2}$.

Получаем еще два корня: $z_3 = i\sqrt{2}$ и $z_4 = -i\sqrt{2}$.

Ответ: $z \in \{ \sqrt{2} + i\sqrt{2}; -\sqrt{2} - i\sqrt{2}; i\sqrt{2}; -i\sqrt{2} \}$.