Номер 36.24, страница 209, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

36.24. a) При каком действительном значении a выражение

$ \frac{a(\sin 75^\circ + i \cos 75^\circ)^{12}}{i(a + 2i)^2 - (14 - 3ai) - 2} $

является действительным числом?

б) При каком действительном значении b выражение

$ b : \frac{(\cos 22^\circ 30^\prime - i \sin 22^\circ 30^\prime)^{16}}{i(3i - b)^2 - (3 - 8bi) - 3} $

является действительным числом?

a)

Пусть дано выражение $Z = \frac{a(\sin 75^\circ + i \cos 75^\circ)^{12}}{i(a + 2i)^2 - (14 - 3ai) - 2}$.

Для того чтобы это выражение было действительным числом, его мнимая часть должна быть равна нулю, то есть $\text{Im}(Z) = 0$.

Упростим числитель и знаменатель дроби.

Числитель: $N = a(\sin 75^\circ + i \cos 75^\circ)^{12}$.

Выражение в скобках является комплексным числом. Приведем его к тригонометрической форме $r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$.

Используя формулы приведения $\sin \alpha = \cos(90^\circ - \alpha)$ и $\cos \alpha = \sin(90^\circ - \alpha)$, получаем:

$\sin 75^\circ = \cos(90^\circ - 75^\circ) = \cos 15^\circ$

$\cos 75^\circ = \sin(90^\circ - 75^\circ) = \sin 15^\circ$

Следовательно, $\sin 75^\circ + i \cos 75^\circ = \cos 15^\circ + i \sin 15^\circ$.

Теперь применим формулу Муавра $(\cos \varphi + i \sin \varphi)^n = \cos(n\varphi) + i \sin(n\varphi)$:

$(\cos 15^\circ + i \sin 15^\circ)^{12} = \cos(12 \cdot 15^\circ) + i \sin(12 \cdot 15^\circ) = \cos(180^\circ) + i \sin(180^\circ) = -1 + 0i = -1$.

Таким образом, числитель $N = a \cdot (-1) = -a$. Числитель является действительным числом при любом действительном $a$.

Знаменатель: $D = i(a + 2i)^2 - (14 - 3ai) - 2$.

Раскроем скобки и упростим:

$i(a + 2i)^2 = i(a^2 + 4ai + (2i)^2) = i(a^2 + 4ai - 4) = ia^2 + 4ai^2 - 4i = ia^2 - 4a - 4i$.

$-(14 - 3ai) - 2 = -14 + 3ai - 2 = -16 + 3ai$.

Складывая эти части, получаем знаменатель:

$D = (ia^2 - 4a - 4i) + (-16 + 3ai) = (-4a - 16) + i(a^2 - 4 + 3a) = -4(a+4) + i(a^2+3a-4)$.

Разложим квадратный трехчлен на множители: $a^2+3a-4 = (a+4)(a-1)$.

$D = -4(a+4) + i(a+4)(a-1) = (a+4)(-4 + i(a-1))$.

Исходное выражение принимает вид: $Z = \frac{-a}{(a+4)(-4 + i(a-1))}$.

Дробь вида $\frac{R}{z}$, где $R$ — действительное число, а $z$ — комплексное, является действительным числом в двух случаях:

1. Числитель $R=0$.

2. Знаменатель $z$ является действительным числом (и не равен нулю).

Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Числитель равен нулю.

$-a = 0 \Rightarrow a = 0$.

При $a=0$ знаменатель $D = (0+4)(-4 + i(0-1)) = 4(-4-i) = -16 - 4i \neq 0$.

Выражение $Z = \frac{0}{-16-4i} = 0$, что является действительным числом. Значит, $a=0$ — одно из решений.

Случай 2: Знаменатель является действительным числом.

Знаменатель $D = (a+4)(-4 + i(a-1))$ будет действительным, если его мнимая часть равна нулю.

$\text{Im}(D) = (a+4)(a-1) = 0$.

Это уравнение имеет два корня: $a = -4$ и $a = 1$.

Если $a = -4$, знаменатель $D = (-4+4)(-4 + i(-4-1)) = 0$. На ноль делить нельзя, поэтому $a=-4$ не является решением.

Если $a = 1$, знаменатель $D = (1+4)(-4 + i(1-1)) = 5(-4) = -20 \neq 0$.

При $a=1$ выражение $Z = \frac{-1}{-20} = \frac{1}{20}$, что является действительным числом. Значит, $a=1$ — также является решением.

Таким образом, выражение является действительным числом при $a=0$ и $a=1$.

Ответ: $a=0$ или $a=1$.

б)

Пусть дано выражение $Z = \frac{b : (\cos 22^\circ30' - i \sin 22^\circ30')^{16}}{i(3i - b)^2 - (3 - 8bi) - 3}$.

Знак ":" означает деление, поэтому выражение можно переписать в виде дроби:

$Z = \frac{b}{(\cos 22^\circ30' - i \sin 22^\circ30')^{16} \cdot [i(3i - b)^2 - (3 - 8bi) - 3]}$.

Условие — $Z$ должно быть действительным числом, то есть $\text{Im}(Z) = 0$.

Числитель дроби $N = b$ является действительным числом, так как по условию $b$ — действительное число.

Упростим знаменатель $D$. Он состоит из двух множителей.

Первый множитель: $D_1 = (\cos 22^\circ30' - i \sin 22^\circ30')^{16}$.

Представим комплексное число в скобках в тригонометрической форме, используя $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$ и $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$:

$\cos 22^\circ30' - i \sin 22^\circ30' = \cos(-22^\circ30') + i \sin(-22^\circ30')$.

Угол $22^\circ30' = 22.5^\circ$. Применим формулу Муавра:

$D_1 = (\cos(-22.5^\circ) + i \sin(-22.5^\circ))^{16} = \cos(16 \cdot (-22.5^\circ)) + i \sin(16 \cdot (-22.5^\circ))$.

$16 \cdot (-22.5^\circ) = -360^\circ$.

$D_1 = \cos(-360^\circ) + i \sin(-360^\circ) = \cos(0^\circ) + i \sin(0^\circ) = 1 + 0i = 1$.

Второй множитель: $D_2 = i(3i - b)^2 - (3 - 8bi) - 3$.

Раскроем скобки и упростим:

$i(3i - b)^2 = i((3i)^2 - 2 \cdot 3i \cdot b + b^2) = i(-9 - 6bi + b^2) = -9i - 6bi^2 + b^2i = -9i + 6b + b^2i = 6b + i(b^2 - 9)$.

$-(3 - 8bi) - 3 = -3 + 8bi - 3 = -6 + 8bi$.

Сложим эти части:

$D_2 = (6b + i(b^2-9)) + (-6 + 8bi) = (6b-6) + i(b^2-9+8b) = 6(b-1) + i(b^2+8b-9)$.

Разложим квадратный трехчлен на множители: $b^2+8b-9 = (b-1)(b+9)$.

$D_2 = 6(b-1) + i(b-1)(b+9) = (b-1)(6 + i(b+9))$.

Знаменатель исходной дроби $D = D_1 \cdot D_2 = 1 \cdot (b-1)(6 + i(b+9)) = (b-1)(6 + i(b+9))$.

Выражение принимает вид: $Z = \frac{b}{(b-1)(6 + i(b+9))}$.

Так как числитель $b$ является действительным числом, то вся дробь будет действительным числом, если:

1. Числитель равен нулю, $b=0$.

2. Знаменатель является действительным числом (и не равен нулю).

Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $b=0$.

При $b=0$ знаменатель $D = (0-1)(6 + i(0+9)) = -1(6+9i) = -6-9i \neq 0$.

Выражение $Z = \frac{0}{-6-9i} = 0$, что является действительным числом. Следовательно, $b=0$ — это решение.

Случай 2: Знаменатель является действительным числом.

$D = (b-1)(6 + i(b+9))$ будет действительным, если его мнимая часть равна нулю.

$\text{Im}(D) = (b-1)(b+9) = 0$.

Отсюда $b=1$ или $b=-9$.

Если $b=1$, знаменатель $D = (1-1)(6+i(1+9)) = 0$. На ноль делить нельзя, поэтому $b=1$ не является решением.

Если $b=-9$, знаменатель $D = (-9-1)(6+i(-9+9)) = -10(6) = -60 \neq 0$.

При $b=-9$ выражение $Z = \frac{-9}{-60} = \frac{3}{20}$, что является действительным числом. Следовательно, $b=-9$ — это решение.

Таким образом, выражение является действительным числом при $b=0$ и $b=-9$.

Ответ: $b=0$ или $b=-9$.