Номер 36.17, страница 208, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

36.17. Пусть ${z, z^2, z^3, ..., z^n, z^{n+1}, ...}$ — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем ${z = \cos 0.1\pi - i \sin 0.1\pi}$.

a) Укажите наименьшее натуральное значение $n$, при котором $z^n$ принадлежит третьей координатной четверти.

б) Укажите наименьшее натуральное значение $n$, при котором $z^n$ принадлежит второй координатной четверти.

в) Сколько в этой прогрессии различных чисел?

г) Найдите сумму этих различных чисел.

Дана бесконечная геометрическая прогрессия $\{z, z^2, z^3, \dots\}$ со знаменателем $z = \cos(0.1\pi) - i\sin(0.1\pi)$. Представим знаменатель $z$ в стандартной тригонометрической форме $r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$. Используя свойства чётности косинуса и нечётности синуса, получаем: $z = \cos(-0.1\pi) + i\sin(-0.1\pi)$. Модуль этого комплексного числа $|z| = \sqrt{\cos^2(-0.1\pi) + \sin^2(-0.1\pi)} = 1$. Аргумент $\arg(z) = -0.1\pi$. Общий член прогрессии $z^n$ можно найти по формуле Муавра: $z^n = (\cos(-0.1\pi) + i\sin(-0.1\pi))^n = \cos(-0.1n\pi) + i\sin(-0.1n\pi)$. Аргумент числа $z^n$ равен $\arg(z^n) = -0.1n\pi$. Все члены прогрессии лежат на единичной окружности.

Комплексное число принадлежит третьей координатной четверти, если его действительная и мнимая части отрицательны. Для $z^n = \cos(-0.1n\pi) + i\sin(-0.1n\pi)$ это означает, что $\cos(-0.1n\pi) < 0$ и $\sin(-0.1n\pi) < 0$. Это условие выполняется, когда аргумент числа, $\varphi_n = -0.1n\pi$, находится в третьей четверти. Углы третьей четверти $\varphi$ удовлетворяют неравенству $\pi + 2\pi k < \varphi < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$ для любого целого $k$. Поскольку $n$ — натуральное число, аргумент $\varphi_n = -0.1n\pi$ является отрицательным. Мы ищем наименьшее $n$, поэтому нас интересует первый такой интервал для отрицательных углов, который достигается при вращении по часовой стрелке. Этот интервал соответствует $k=-1$, то есть $(-\pi, -\frac{\pi}{2})$. Составим двойное неравенство для $n$: $-\pi < -0.1n\pi < -\frac{\pi}{2}$. Разделим все части неравенства на $-\pi$ (при этом знаки неравенства изменятся на противоположные): $1 > 0.1n > \frac{1}{2}$. Умножим на 10: $10 > n > 5$. Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому условию, — это 6.

Ответ: 6

Комплексное число принадлежит второй координатной четверти, если его действительная часть отрицательна, а мнимая — положительна. Для $z^n$ это означает, что $\cos(-0.1n\pi) < 0$ и $\sin(-0.1n\pi) > 0$. Это условие выполняется, когда аргумент $\varphi_n = -0.1n\pi$ находится во второй четверти. Углы второй четверти $\varphi$ удовлетворяют неравенству $\frac{\pi}{2} + 2\pi k < \varphi < \pi + 2\pi k$ для любого целого $k$. Продолжая вращение по часовой стрелке от $-\pi$, следующий интересующий нас интервал будет соответствовать $k=-1$, то есть $(\frac{\pi}{2} - 2\pi, \pi - 2\pi) = (-\frac{3\pi}{2}, -\pi)$. Составим двойное неравенство для $n$: $-\frac{3\pi}{2} < -0.1n\pi < -\pi$. Разделим все части на $-\pi$: $\frac{3}{2} > 0.1n > 1$. Умножим на 10: $15 > n > 10$. Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому условию, — это 11.

Ответ: 11

Члены прогрессии $z, z^2, z^3, \dots$ начинают повторяться, когда для некоторых натуральных $m$ и $n$ ($n > m$) выполняется равенство $z^n = z^m$. Это равенство эквивалентно $z^{n-m} = 1$. Найдём наименьшее натуральное $k = n-m$, для которого $z^k = 1$. $z^k = \cos(-0.1k\pi) + i\sin(-0.1k\pi) = 1$. Равенство $1$ достигается, когда аргумент является целым кратным $2\pi$: $-0.1k\pi = 2\pi j$ для некоторого целого $j$. Отсюда $-0.1k = 2j$, или $k = -20j$. Поскольку $k$ должно быть наименьшим натуральным числом, мы выбираем $j = -1$, что даёт $k = 20$. Это означает, что последовательность значений членов прогрессии периодична с периодом 20. Таким образом, в прогрессии существует ровно 20 различных чисел, которыми являются $z^1, z^2, \ldots, z^{20}$. При $n > 20$ значения начинают повторяться: $z^{21} = z^{20} \cdot z = 1 \cdot z = z^1$, и так далее.

Ответ: 20

Нам нужно найти сумму всех различных членов прогрессии: $S = z + z^2 + z^3 + \dots + z^{20}$. Эта сумма представляет собой сумму первых 20 членов геометрической прогрессии с первым членом $b_1 = z$ и знаменателем $q = z$. Воспользуемся формулой суммы конечной геометрической прогрессии $S_N = \frac{b_1(q^N - 1)}{q-1}$. Для нашего случая $N=20$: $S = \frac{z(z^{20} - 1)}{z - 1}$. Из предыдущего пункта мы знаем, что $z^{20} = 1$. Подставим это значение в формулу: $S = \frac{z(1 - 1)}{z - 1} = \frac{z \cdot 0}{z - 1}$. Поскольку $z = \cos(-0.1\pi) + i\sin(-0.1\pi) \neq 1$, знаменатель $z-1$ не равен нулю. Следовательно, сумма равна 0.

Ответ: 0