Номер 36.12, страница 207, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

36.12. a) $(1 + \sqrt{3}i)^{-3}$;

б) $(1 + \sqrt{3}i)^{-5}$;

В) $(\sqrt{3} + i)^{-7}$;

Г) $(\sqrt{3} - i)^{-9}$.

а) $(1 + \sqrt{3}i)^{-3}$

Для вычисления степени комплексного числа используем формулу Муавра. Сначала представим комплексное число $z = 1 + \sqrt{3}i$ в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$.

Найдем модуль числа: $r = |z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем аргумент $\varphi$. Из уравнений $\cos\varphi = \frac{1}{2}$ и $\sin\varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}$ следует, что $\varphi = \frac{\pi}{3}$.

Тригонометрическая форма числа: $z = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}))$.

Теперь применим формулу Муавра $[r(\cos\varphi + i\sin\varphi)]^n = r^n(\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi))$ для $n=-3$:

$(1 + \sqrt{3}i)^{-3} = [2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}))]^{-3} = 2^{-3}(\cos(-3 \cdot \frac{\pi}{3}) + i\sin(-3 \cdot \frac{\pi}{3})) = \frac{1}{8}(\cos(-\pi) + i\sin(-\pi))$.

Вычислим конечный результат: так как $\cos(-\pi) = -1$ и $\sin(-\pi) = 0$, то $\frac{1}{8}(-1 + i \cdot 0) = -\frac{1}{8}$.

Ответ: $-\frac{1}{8}$.

б) $(1 + \sqrt{3}i)^{-5}$

Используем тригонометрическую форму комплексного числа $z = 1 + \sqrt{3}i$ из предыдущего пункта: $z = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}))$.

Применим формулу Муавра для $n=-5$:

$(1 + \sqrt{3}i)^{-5} = [2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}))]^{-5} = 2^{-5}(\cos(-5 \cdot \frac{\pi}{3}) + i\sin(-5 \cdot \frac{\pi}{3})) = \frac{1}{32}(\cos(-\frac{5\pi}{3}) + i\sin(-\frac{5\pi}{3}))$.

Упростим выражение, используя свойства четности и нечетности тригонометрических функций: $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$. Получаем: $\frac{1}{32}(\cos(\frac{5\pi}{3}) - i\sin(\frac{5\pi}{3}))$.

Вычислим значения: $\cos(\frac{5\pi}{3}) = \cos(2\pi - \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{5\pi}{3}) = \sin(2\pi - \frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим значения и получим результат: $\frac{1}{32}(\frac{1}{2} - i(-\frac{\sqrt{3}}{2})) = \frac{1}{32}(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{64} + i\frac{\sqrt{3}}{64}$.

Ответ: $\frac{1}{64} + i\frac{\sqrt{3}}{64}$.

в) $(\sqrt{3} + i)^{-7}$

Представим комплексное число $z = \sqrt{3} + i$ в тригонометрической форме. Найдем модуль: $r = |z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем аргумент $\varphi$: из $\cos\varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\varphi = \frac{1}{2}$ следует, что $\varphi = \frac{\pi}{6}$.

Тригонометрическая форма: $z = 2(\cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6}))$.

Применим формулу Муавра для $n=-7$:

$(\sqrt{3} + i)^{-7} = [2(\cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6}))]^{-7} = 2^{-7}(\cos(-7 \cdot \frac{\pi}{6}) + i\sin(-7 \cdot \frac{\pi}{6})) = \frac{1}{128}(\cos(-\frac{7\pi}{6}) + i\sin(-\frac{7\pi}{6}))$.

Используя свойства тригонометрических функций, получим: $\frac{1}{128}(\cos(\frac{7\pi}{6}) - i\sin(\frac{7\pi}{6}))$.

Вычислим значения: $\cos(\frac{7\pi}{6}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{7\pi}{6}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.

Подставим значения: $\frac{1}{128}(-\frac{\sqrt{3}}{2} - i(-\frac{1}{2})) = \frac{1}{128}(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{256} + i\frac{1}{256}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{256} + i\frac{1}{256}$.

г) $(\sqrt{3} - i)^{-9}$

Представим комплексное число $z = \sqrt{3} - i$ в тригонометрической форме. Модуль: $r = |z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Аргумент $\varphi$ найдем из условий $\cos\varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\varphi = -\frac{1}{2}$. Так как действительная часть положительна, а мнимая отрицательна, число находится в четвертой четверти, и $\varphi = -\frac{\pi}{6}$.

Тригонометрическая форма: $z = 2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6}))$.

Применим формулу Муавра для $n=-9$:

$(\sqrt{3} - i)^{-9} = [2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6}))]^{-9} = 2^{-9}(\cos(-9 \cdot (-\frac{\pi}{6})) + i\sin(-9 \cdot (-\frac{\pi}{6})))$.

Упростим выражение: $\frac{1}{512}(\cos(\frac{9\pi}{6}) + i\sin(\frac{9\pi}{6})) = \frac{1}{512}(\cos(\frac{3\pi}{2}) + i\sin(\frac{3\pi}{2}))$.

Вычислим значения: $\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$ и $\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$.

Подставим значения: $\frac{1}{512}(0 + i(-1)) = -\frac{i}{512}$.

Ответ: $-\frac{i}{512}$.