Номер 36.9, страница 207, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

36.9. a) $(1 + \sqrt{3}i)^3$;

б) $(1 + \sqrt{3}i)^5$;

в) $(\sqrt{3} + i)^7$;

г) $(\sqrt{3} - i)^9$.

Для решения данных задач используется формула Муавра, которая позволяет возводить комплексные числа в степень. Формула Муавра для комплексного числа $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ имеет вид: $z^n = r^n(\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi))$. Сначала необходимо представить комплексное число в тригонометрической форме, а затем применить формулу.

а) $(1 + \sqrt{3}i)^3$

Представим комплексное число $z = 1 + \sqrt{3}i$ в тригонометрической форме. Здесь действительная часть $a=1$ и мнимая часть $b=\sqrt{3}$.

Найдем модуль числа $r$: $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем аргумент $\varphi$: $\cos\varphi = \frac{a}{r} = \frac{1}{2}$, $\sin\varphi = \frac{b}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Этим условиям соответствует угол $\varphi = \frac{\pi}{3}$.

Тригонометрическая форма числа: $z = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}))$.

Теперь применим формулу Муавра для $n=3$: $(1 + \sqrt{3}i)^3 = 2^3(\cos(3 \cdot \frac{\pi}{3}) + i\sin(3 \cdot \frac{\pi}{3})) = 8(\cos\pi + i\sin\pi)$.

Так как $\cos\pi = -1$ и $\sin\pi = 0$, получаем: $8(-1 + i \cdot 0) = -8$.

Ответ: $-8$.

б) $(1 + \sqrt{3}i)^5$

Используем тригонометрическую форму числа $z = 1 + \sqrt{3}i$ из предыдущего пункта: $z = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}))$.

Применим формулу Муавра для $n=5$: $(1 + \sqrt{3}i)^5 = 2^5(\cos(5 \cdot \frac{\pi}{3}) + i\sin(5 \cdot \frac{\pi}{3})) = 32(\cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3})$.

Вычислим значения косинуса и синуса: $\cos\frac{5\pi}{3} = \cos(2\pi - \frac{\pi}{3}) = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$. $\sin\frac{5\pi}{3} = \sin(2\pi - \frac{\pi}{3}) = -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставляем значения: $32(\frac{1}{2} + i(-\frac{\sqrt{3}}{2})) = 16 - 16\sqrt{3}i$.

Ответ: $16 - 16\sqrt{3}i$.

в) $(\sqrt{3} + i)^7$

Представим комплексное число $z = \sqrt{3} + i$ в тригонометрической форме. Здесь $a=\sqrt{3}$, $b=1$.

Найдем модуль числа $r$: $r = |z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем аргумент $\varphi$: $\cos\varphi = \frac{a}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\varphi = \frac{b}{r} = \frac{1}{2}$. Этим условиям соответствует угол $\varphi = \frac{\pi}{6}$.

Тригонометрическая форма числа: $z = 2(\cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6}))$.

Применим формулу Муавра для $n=7$: $(\sqrt{3} + i)^7 = 2^7(\cos(7 \cdot \frac{\pi}{6}) + i\sin(7 \cdot \frac{\pi}{6})) = 128(\cos\frac{7\pi}{6} + i\sin\frac{7\pi}{6})$.

Вычислим значения косинуса и синуса: $\cos\frac{7\pi}{6} = \cos(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\cos\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. $\sin\frac{7\pi}{6} = \sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\sin\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}$.

Подставляем значения: $128(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i(-\frac{1}{2})) = -64\sqrt{3} - 64i$.

Ответ: $-64\sqrt{3} - 64i$.

г) $(\sqrt{3} - i)^9$

Представим комплексное число $z = \sqrt{3} - i$ в тригонометрической форме. Здесь $a=\sqrt{3}$, $b=-1$.

Найдем модуль числа $r$: $r = |z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем аргумент $\varphi$: $\cos\varphi = \frac{a}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\varphi = \frac{b}{r} = -\frac{1}{2}$. Этим условиям соответствует угол $\varphi = -\frac{\pi}{6}$ (или $\frac{11\pi}{6}$).

Тригонометрическая форма числа: $z = 2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6}))$.

Применим формулу Муавра для $n=9$: $(\sqrt{3} - i)^9 = 2^9(\cos(9 \cdot (-\frac{\pi}{6})) + i\sin(9 \cdot (-\frac{\pi}{6}))) = 512(\cos(-\frac{9\pi}{6}) + i\sin(-\frac{9\pi}{6})) = 512(\cos(-\frac{3\pi}{2}) + i\sin(-\frac{3\pi}{2}))$.

Вычислим значения косинуса и синуса: $\cos(-\frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$. $\sin(-\frac{3\pi}{2}) = -\sin(\frac{3\pi}{2}) = -(-1) = 1$.

Подставляем значения: $512(0 + i \cdot 1) = 512i$.

Ответ: $512i$.