Номер 36.7, страница 207, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Вычислите:

36.7. a) $(\cos 15^\circ + i \sin 15^\circ)^8;$

б) $(\cos 15^\circ + i \sin 15^\circ)^{18};$

в) $(\cos 75^\circ + i \sin 75^\circ)^{10},$

г) $(\cos 75^\circ + i \sin 75^\circ)^{100}.$

Для решения всех пунктов задачи используется формула Муавра для возведения комплексного числа, представленного в тригонометрической форме, в степень. Формула Муавра выглядит следующим образом:

$(\cos \varphi + i \sin \varphi)^n = \cos(n\varphi) + i \sin(n\varphi)$

а) $(\cos 15^\circ + i \sin 15^\circ)^8$

Применим формулу Муавра, где $\varphi = 15^\circ$ и $n = 8$.

$(\cos 15^\circ + i \sin 15^\circ)^8 = \cos(8 \cdot 15^\circ) + i \sin(8 \cdot 15^\circ) = \cos(120^\circ) + i \sin(120^\circ)$

Вычислим значения косинуса и синуса для угла $120^\circ$. Этот угол находится во второй четверти.

$\cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -{1 \over 2}$

$\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = {\sqrt{3} \over 2}$

Следовательно, результат равен:

$-{1 \over 2} + i{\sqrt{3} \over 2}$

Ответ: $-{1 \over 2} + i{\sqrt{3} \over 2}$.

б) $(\cos 15^\circ + i \sin 15^\circ)^{18}$

Применим формулу Муавра, где $\varphi = 15^\circ$ и $n = 18$.

$(\cos 15^\circ + i \sin 15^\circ)^{18} = \cos(18 \cdot 15^\circ) + i \sin(18 \cdot 15^\circ) = \cos(270^\circ) + i \sin(270^\circ)$

Вычислим значения косинуса и синуса для угла $270^\circ$.

$\cos(270^\circ) = 0$

$\sin(270^\circ) = -1$

Следовательно, результат равен:

$0 + i(-1) = -i$

Ответ: $-i$.

в) $(\cos 75^\circ + i \sin 75^\circ)^{10}$

Применим формулу Муавра, где $\varphi = 75^\circ$ и $n = 10$.

$(\cos 75^\circ + i \sin 75^\circ)^{10} = \cos(10 \cdot 75^\circ) + i \sin(10 \cdot 75^\circ) = \cos(750^\circ) + i \sin(750^\circ)$

Угол $750^\circ$ больше $360^\circ$, поэтому найдем эквивалентный ему угол в пределах одного оборота ($0^\circ$ до $360^\circ$).

$750^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 30^\circ$

Таким образом, $\cos(750^\circ) = \cos(30^\circ)$ и $\sin(750^\circ) = \sin(30^\circ)$.

Вычислим значения косинуса и синуса для угла $30^\circ$.

$\cos(30^\circ) = {\sqrt{3} \over 2}$

$\sin(30^\circ) = {1 \over 2}$

Следовательно, результат равен:

${\sqrt{3} \over 2} + i{1 \over 2}$

Ответ: ${\sqrt{3} \over 2} + i{1 \over 2}$.

г) $(\cos 75^\circ + i \sin 75^\circ)^{100}$

Применим формулу Муавра, где $\varphi = 75^\circ$ и $n = 100$.

$(\cos 75^\circ + i \sin 75^\circ)^{100} = \cos(100 \cdot 75^\circ) + i \sin(100 \cdot 75^\circ) = \cos(7500^\circ) + i \sin(7500^\circ)$

Угол $7500^\circ$ больше $360^\circ$, поэтому найдем эквивалентный ему угол.

$7500 \div 360 = 20$ с остатком $300$ ($7500^\circ = 20 \cdot 360^\circ + 300^\circ$).

Таким образом, $\cos(7500^\circ) = \cos(300^\circ)$ и $\sin(7500^\circ) = \sin(300^\circ)$.

Вычислим значения косинуса и синуса для угла $300^\circ$. Этот угол находится в четвертой четверти.

$\cos(300^\circ) = \cos(360^\circ - 60^\circ) = \cos(60^\circ) = {1 \over 2}$

$\sin(300^\circ) = \sin(360^\circ - 60^\circ) = -\sin(60^\circ) = -{\sqrt{3} \over 2}$

Следовательно, результат равен:

${1 \over 2} - i{\sqrt{3} \over 2}$

Ответ: ${1 \over 2} - i{\sqrt{3} \over 2}$.